Dimostrazione con criteri di similitudine e triangoli rettangoli

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Dimostrazione con criteri di similitudine e triangoli rettangoli #63780

avt
broderk
Punto
Salve a tutti avrei bisogno di capire come fare questa dimostrazione con un rettangoli inscritto in un triangolo rettangolo e con i criteri di similitudine.

Nel triangolo ABC, rettangolo in A, è inscritto un rettangolo HKNM con il lato HK sull'ipotenusa, essendo BH<BK, N \in AC e M \in AB.
Dimostra che i triangoli ABC, MAN, BHM, CKN sono simili.

Grazie emt
 
 

Dimostrazione con criteri di similitudine e triangoli rettangoli #63795

avt
Omega
Amministratore
Ciao Broderk,

[Mod] cortesemente attieniti alle linee guida del Forum. Da un bel po' di tempo a questa parte ogni domanda deve essere posta con un tentativo di svolgimento, indipendentemente che sia giusto o sbagliato. Questo è il tuo primo messaggio e dunque rispondo ugualmente, i successivi verranno cancellati senza avviso. Grazie per la collaborazione ;) [/Mod]


Ora veniamo all'esercizio: il disegno è facile da fare.

Disegna un triangolo rettangolo ABC con ipotenusa BC (ti consiglio di disegnare l'ipotenusa orizzontalmente sul foglio).

Successivamente disegna il rettangolo inscritto nel triangolo, in modo che il lato HK giaccia sull'ipotenusa BC e in modo tale che BH<BK.

Ok, ora vediamo di ricordarci cosa dicono i criteri di similitudine dei triangoli. Se non lo ricordi, basta un click. emt


Per dimostrare che i triangoli ABC,\ MAN,\ BHM,\ CKN sono simili ti basta dimostrare che MAN,\ BHM,\ CKN sono uno ad uno simili al triangolo rettangolo ABC.


Consideriamo i due triangoli ABC,\ MAN. Essi hanno:

- un angolo retto in comune, quello in A;

- gli angoli A\hat{B}C=A\hat{M}N congruenti in quanto angoli corrispondenti su due rette parallele tagliate dalla trasversale AB. Il parallelismo dei segmenti MN,\ BC deriva dal fatto che i lati opposti di un rettangolo sono paralleli.

- gli angoli B\hat{C}A=M\hat{N}A perché corrispondenti. Qui le i segmenti paralleli sono sempre MN,\ BC, il segmento trasversale è AC.


Per il primo criterio di similitudine concludiamo che i triangoli ABC,\ AMN sono simili, poiché hanno i tre angoli ordinatamente congruenti.


Passiamo ad un'altra coppia di triangoli: BHM,\ ABC. In questo caso abbiamo:

- gli angoli B\hat{A}C=B\hat{H}M congruenti in quanto retti. In particolare HM\perp BC e quindi B\hat{H}M=90^o perché i lati consecutivi di un rettangolo sono perpendicolari.

- Gli angoli H\hat{B}M=A\hat{B}C congruenti perché coincidenti (stesso identico vertice!).

- Gli angoli B\hat{M}H=B\hat{C}A congruenti. Perché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180^o

A\hat{B}C+B\hat{A}C+B\hat{C}A=180^o

H\hat{B}M+B\hat{H}M+B\hat{M}H=180^o

da cui capiamo che, se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali, devono essere uguali tra loro anche i terzi angoli.


Quindi i due triangoli BHM,\ ABC hanno tre angoli ordinatamente congruenti, quindi sono simili per il primo criterio di similitudine.


La dimostrazione per la coppia di triangoli BAC,\ KCN è del tutto analoga a quella appena vista e la lascio a te. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, CarFaby, broderk
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Os