Dimostrazione con criteri di similitudine e triangoli rettangoli

Salve a tutti avrei bisogno di capire come fare questa dimostrazione con un rettangoli inscritto in un triangolo rettangolo e con i criteri di similitudine.

Nel triangolo ABC, rettangolo in A, è inscritto un rettangolo HKNM con il lato HK sull'ipotenusa, essendo BH<BK, N AC e M AB.

Dimostra che i triangoli ABC, MAN, BHM, CKN sono simili.

Grazie

Ciao Broderk,

[Mod] cortesemente attieniti alle linee guida del Forum. Da un bel po' di tempo a questa parte ogni domanda deve essere posta con un tentativo di svolgimento, indipendentemente che sia giusto o sbagliato. Questo è il tuo primo messaggio e dunque rispondo ugualmente, i successivi verranno cancellati senza avviso. Grazie per la collaborazione ;) [/Mod]

Ora veniamo all'esercizio: il disegno è facile da fare.

Disegna un triangolo rettangolo con ipotenusa (ti consiglio di disegnare l'ipotenusa orizzontalmente sul foglio).

Successivamente disegna il rettangolo inscritto nel triangolo, in modo che il lato giaccia sull'ipotenusa e in modo tale che .

Ok, ora vediamo di ricordarci cosa dicono i criteri di similitudine dei triangoli. Se non lo ricordi, basta un click.

Per dimostrare che i triangoli sono simili ti basta dimostrare che sono uno ad uno simili al triangolo rettangolo .

Consideriamo i due triangoli . Essi hanno:

- un angolo retto in comune, quello in ;

- gli angoli congruenti in quanto angoli corrispondenti su due rette parallele tagliate dalla trasversale . Il parallelismo dei segmenti deriva dal fatto che i lati opposti di un rettangolo sono paralleli.

- gli angoli perché corrispondenti. Qui le i segmenti paralleli sono sempre , il segmento trasversale è .

Per il primo criterio di similitudine concludiamo che i triangoli sono simili, poiché hanno i tre angoli ordinatamente congruenti.

Passiamo ad un'altra coppia di triangoli: . In questo caso abbiamo:

- gli angoli congruenti in quanto retti. In particolare e quindi perché i lati consecutivi di un rettangolo sono perpendicolari.

- Gli angoli congruenti perché coincidenti (stesso identico vertice!).

- Gli angoli congruenti. Perché la somma degli angoli interni di un triangolo è

da cui capiamo che, se due triangoli hanno due angoli rispettivamente uguali, devono essere uguali tra loro anche i terzi angoli.

Quindi i due triangoli hanno tre angoli ordinatamente congruenti, quindi sono simili per il primo criterio di similitudine.

La dimostrazione per la coppia di triangoli è del tutto analoga a quella appena vista e la lascio a te.