Problema con triangolo rettangolo e mediana

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema con triangolo rettangolo e mediana #63600

avt
ghizzu
Punto
Buon giorno a tutti, scrivo questo topic per chiedere aiuto con un problema sulla mediana di un triangolo rettangolo (con i radicali). Parto da questo che mi lascia perplesso, in quanto i dati di partenza non mi sembrano sufficienti per la risoluzione, ma sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge.

E' dato un triangolo ABC rettangolo in A. La mediana CM relativa al cateto AB forma con il lato stesso l’angolo CMA = 30°. Sapendo che l’area del triangolo CMB misura 8\sqrt{3} \ cm^2, calcola il perimetro del triangolo

Risultato: 4(1+2\sqrt{3}+\sqrt{13}) \ cm

Innanzitutto secondo me l'angolo di 30° è l'angolo ACM e non CMA anche solo per costruzione; sinceramente con i dati di partenza non riesco a farmi una mappa di risoluzione dell'esercizio ed anche per come è scritto il testo non riesco a trovare il bandolo della matassa.

Grazie per l'assistenza, ciaooooooooooooooo!
 
 

Re: Problema con triangolo rettangolo e mediana #63626

avt
Galois
Coamministratore
Ciao ghizzu emt

Il tuo problema è fattibilissimo, vediamo un po' come procedere. Iniziamo col farci un disegnino

problema triangolo 30 60


Sappiamo che l'area del triangolo AMC è uguale a 8 \sqrt{3} \ cm^2 dove CM è la mediana relativa al cateto AB.

Il triangolo AMC, per come è stato ottenuto, è un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30 e 60 gradi, per il quale esistono formule particolari che occorre sapere (click sul link precedente per averle tutte sotto mano)

Sapendo infatti che l'angolo in A è retto, che l'angolo CMA misura 30° e che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, l'angolo ACM misurerà: 180° - 90° - 30° = 60°

Alla luce di ciò, in questo genere di triangoli rettangoli, la misura dell'area è data da:

\mbox{Area} = \frac{\mbox{ipotenusa}^2 \times \sqrt{3}}{8}

Da questa formula, conoscendo l'area, possiamo trovare la misura dell'ipotenusa, ovvero del segmento CM che è data da:

CM= \sqrt{\frac{8 \times \mbox{Area}}{\sqrt{3}}}=\sqrt{\frac{8 \times 8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}=\sqrt{64}

la cui radice quadrata è uguale a 8, ovvero CM=8 cm

Ora, dalle formule sul triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 gradi possiamo ricavare la misura dei due suoi cateti AM ed AC.

AC essendo opposto all'angolo di 30° sarà uguale alla metà dell'ipotenusa CM, ovvero:

AC=\frac{CM}{2}= 4 \cm

Mentre AM essendo opposto all'angolo di 60° sarà uguale ad ipotenusa per radical 3 mezzi, ovvero:

AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times CM = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4 \sqrt{3} \ cm

Essendo ora AM la metà del cateto AB, abbiamo che AB=8 \sqrt{3} \ cm

Sapendo ora la misura dei due cateti del triangolo rettangolo ABC, grazie al Teorema di Pitagora possiamo trovare la misura dell'ipotenusa CB:

CB=\sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{16+192}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}

Quindi il perimetro del triangolo sarà:

2p=AC+AB+BC=4+8\sqrt{13}+4\sqrt{13}=4(1+2\sqrt{3}+\sqrt{13})

emt

Mi raccomando: leggi le lezioni che man mano ti ho linkato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Problema con triangolo rettangolo e mediana #63653

avt
ghizzu
Punto
Grazie grazie, il problema era dato dal fatto che avevo interpretato male la posizione dell'angolo di 30° e che non mi ricordavo la formula per il calcolo dell'area di un triangolo rettangolo 30-60. con quell'input sono riuscito tranquillamente a risolverlo.
Grazie grazie grazie
Ringraziano: Galois
  • Pagina:
  • 1
Os