Problema di secondo grado sul rombo

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Problema di secondo grado sul rombo #61624

avt
Biancachiara
Punto
Salve a tutti, mi trovo a dover risolvere questo problema di secondo grado in una sola incognita sul rombo, e sto uscendo ci pazza a causa dei coefficienti irrazionali.

La somma delle diagonali di un rombo è 5√(2), mentre la sua area misura 4. Determinare il perimetro del rombo.

Come si fa?
 
 

Problema di secondo grado sul rombo #61636

avt
Galois
Amministratore
Il problema di geometria può essere tranquillamente risolto con le equazioni, ma bisogna conoscere le formule sul rombo, oltre a leggere molto bene la traccia così da ricavare la risolvente.

Indichiamo con d la misura della diagonale minore del rombo e con D la diagonale maggiore e traduciamo in termini matematici la frase "la somma delle diagonali di un rombo è 5√(2) cm" come

d+D = 5√(2)

Dall'espressione "L'area del quadrilatero è 4 cm^2" ricaviamo la relazione

(d·D)/(2) = 4

da cui, moltiplicando i due membri per 2:

d·D = 8

Denotiamo con x la misura della diagonale minore, in questo modo la somma delle diagonali diventa

x+D = 5√(2)

da cui isolando D al primo membro otteniamo

D = 5√(2)-x

Ora che siamo riusciti a esprimere le diagonali in termini dell'incognita, possiamo sfruttare la relazione scaturita dall'area del rombo per ricavare la risolvente associata al problema

d·D = 8 → x(5√(2)-x) = 8

Svolgiamo il prodotto al primo membro e sbarazziamoci delle parentesi tonde

5√(2)x-x^2 = 8

Trasportiamo 8 al primo membro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-x^2+5√(2)x-8 = 0 → x^2-5√(2)x+8 = 0

Ci troviamo di fronte a un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono:

a = 1 ; b = -5√(2) ; c = 8

Per risolverla, calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = (-5√(2))^2-4·1·8 =

Svolgiamo i calcoli, avvalendoci della proprietà delle potenze che consente di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

= 5^2(√(2))^2-32 = 50-32 = 18

Il discriminante è positivo, dunque l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, ma prima di calcolarle è opportuno determinare la sua radice quadrata del delta a parte (è solo una questione di comodità e nulla più).

√(Δ) = √(18) =

Semplifichiamo la radice scomponendo in fattori primi 18 e trasportando fuori dal simbolo di radicale tutti i fattori possibili

= √(3^2·2) = 3√(2)

Perfetto, ora siamo in grado di determinare le soluzioni dell'equazione con la formula

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (5√(2)±3√(2))/(2) = (2√(2))/(2) = √(2) = x_1 ; (8√(2))/(2) = 4√(2) = x_2

Tali valori corrispondono alla misura della diagonale minore d. Per capire se le soluzioni sono accettabili, sostituiamo ordinatamente i due valori nell'espressione che definisce la lunghezza della diagonale maggiore.

Se x = √(2) allora la diagonale minore misura

d = √(2)

mentre quella maggiore è

D = 5√(2)-x = 5√(2)-√(2) = 4√(2)

Se x = 4√(2), la diagonale minore risulterebbe più grande della diagonale maggiore, infatti

d = 4√(2) → D = 5√(2)-4√(2) = √(2)

Poiché abbiamo denotato con d la diagonale minore e D quella maggiore, prenderemo i valori:

d = √(2) ; D = 4 √(2)

Ora che abbiamo a disposizione la lunghezza delle due diagonali, possiamo sfruttare il Teorema di Pitagora per ottenere il lato del rombo e calcolare infine il perimetro.

Indicato con ell il lato del rombo, esso si ottiene con la formula

ell = √((d^2)/(4)+(D^2)/(4)) = √(((√(2))^2)/(4)+((4 √(2))^2)/(4)) =

Svolgiamo i calcoli, stando attenti ad applicare correttamente le proprietà delle potenze e quelle dei radicali

= √((2)/(4)+(16·2)/(4)) = √((17)/(2)) cm

In definitiva, il lato misura √((17)/(2)) cm e, di conseguenza, il perimetro del rombo è

2p = 4· ell = 4·√((17)/(2)) cm

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Biancachiara
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Os