Problema di secondo grado sul rombo

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Problema di secondo grado sul rombo #61624

avt
Biancachiara
Punto
Salve a tutti, mi trovo a dover risolvere questo problema di secondo grado in una sola incognita sul rombo, e sto uscendo ci pazza a causa dei coefficienti irrazionali.

La somma delle diagonali di un rombo è 5\sqrt{2}, mentre la sua area misura 4. Determinare il perimetro del rombo.

Come si fa?
 
 

Problema di secondo grado sul rombo #61636

avt
Galois
Amministratore
Il problema di geometria può essere tranquillamente risolto con le equazioni, ma bisogna conoscere le formule sul rombo, oltre a leggere molto bene la traccia così da ricavare la risolvente.

Indichiamo con d la misura della diagonale minore del rombo e con D la diagonale maggiore e traduciamo in termini matematici la frase "la somma delle diagonali di un rombo è 5\sqrt{2}\ \mbox{cm}" come

d+D=5\sqrt{2}

Dall'espressione "L'area del quadrilatero è 4\ \mbox{cm}^2" ricaviamo la relazione

\frac{d\cdot D}{2}=4

da cui, moltiplicando i due membri per 2:

d \cdot D=8

Denotiamo con x la misura della diagonale minore, in questo modo la somma delle diagonali diventa

x+D=5\sqrt{2}

da cui isolando D al primo membro otteniamo

D=5\sqrt{2}-x

Ora che siamo riusciti a esprimere le diagonali in termini dell'incognita, possiamo sfruttare la relazione scaturita dall'area del rombo per ricavare la risolvente associata al problema

d\cdot D=8\ \ \ \to \ \ \ x(5\sqrt{2}-x)=8

Svolgiamo il prodotto al primo membro e sbarazziamoci delle parentesi tonde

5\sqrt{2}x-x^2=8

Trasportiamo 8 al primo membro e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-x^2+5\sqrt{2}x-8=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2-5\sqrt{2}x+8=0

Ci troviamo di fronte a un'equazione di secondo grado i cui coefficienti sono:

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-5\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ c=8

Per risolverla, calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-5\sqrt{2})^2-4\cdot 1\cdot 8=

Svolgiamo i calcoli, avvalendoci della proprietà delle potenze che consente di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

=5^2(\sqrt{2})^2-32=50-32=18

Il discriminante è positivo, dunque l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte, ma prima di calcolarle è opportuno determinare la sua radice quadrata del delta a parte (è solo una questione di comodità e nulla più).

\sqrt{\Delta}=\sqrt{18}=

Semplifichiamo la radice scomponendo in fattori primi 18 e trasportando fuori dal simbolo di radicale tutti i fattori possibili

=\sqrt{3^2\cdot 2}=3\sqrt{2}

Perfetto, ora siamo in grado di determinare le soluzioni dell'equazione con la formula

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\sqrt{2}\pm 3\sqrt{2}}{2}=\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}=x_1\\ \\ \frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}=x_2\end{cases}

Tali valori corrispondono alla misura della diagonale minore d. Per capire se le soluzioni sono accettabili, sostituiamo ordinatamente i due valori nell'espressione che definisce la lunghezza della diagonale maggiore.

Se x=\sqrt{2} allora la diagonale minore misura

d=\sqrt{2}

mentre quella maggiore è

D=5\sqrt{2}-x=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}

Se x=4\sqrt{2}, la diagonale minore risulterebbe più grande della diagonale maggiore, infatti

d=4\sqrt{2} \ \ \ \to \ \ \ D=5\sqrt{2}-4\sqrt{2}=\sqrt{2}

Poiché abbiamo denotato con d la diagonale minore e D quella maggiore, prenderemo i valori:

d=\sqrt{2}\ \ \ ;  \ \ \ D=4 \sqrt{2}

Ora che abbiamo a disposizione la lunghezza delle due diagonali, possiamo sfruttare il Teorema di Pitagora per ottenere il lato del rombo e calcolare infine il perimetro.

Indicato con \ell il lato del rombo, esso si ottiene con la formula

\ell=\sqrt{\frac{d^2}{4}+\frac{D^2}{4}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{2})^2}{4}+\frac{(4 \sqrt{2})^2}{4}}=

Svolgiamo i calcoli, stando attenti ad applicare correttamente le proprietà delle potenze e quelle dei radicali

=\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{16\cdot 2}{4}}=\sqrt{\frac{17}{2}} \ \mbox{cm}

In definitiva, il lato misura \sqrt{\frac{17}{2}} \ \mbox{cm} e, di conseguenza, il perimetro del rombo è

2p=4\cdot \ell=4\cdot \sqrt{\frac{17}{2}} \ \mbox{cm}

Ecco fatto!
Ringraziano: Omega, Biancachiara
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Os