Dimostrazione parallelogramma formato da 2 circonferenze secanti

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Dimostrazione parallelogramma formato da 2 circonferenze secanti #55132

avt
Pelide98
Punto
Devo fare una dimostrazione sul parallelogramma con due circonferenze secanti e rette parallele. Mi sembra parecchio impegnativa o meglio non mi viene l'intuizione giusta per portarla a termine.

Due circonferenze si intersecano in A e in B. Traccia per A e B le rette parallele a e b e siano C, D ed E, F rispettivamente le intersezioni con le due circonferenze.
Dimostra che EFCD è un parallelogramma quando O appartiene alla retta a e O' è esterno al parallelogramma.

Ipotesi
a // b
γ ∩ γ' = {A;B}
O ∈ a
O' ∉ CDFE

Tesi
ECFE parallelogramma.

circonferenze secanti e parallelogramma

Ma da questo punto in poi mi sono bloccato, riuscireste a darmi una mano?
 
 

Re: Dimostrazione parallelogramma formato da 2 circonferenze secanti #55224

avt
Galois
Amministratore
Ciao Pelide,

prendo come riferimento la figura.

Congiungi i punti A e B

Osserva che si vengono a formare due quadrilateri:

ABEC inscritto nella circonferenza piccola e

ABFD inscritto nella circonferenza grande.

Ricordando che le rette per i punti CD ed EF sono rette parallele per ipotesi, ne deduciamo subito che i due quadrilateri sono due trapezi. Possiamo dire molto di più! Essi infatti sono due trapezi isosceli

Ti basta provare questa proprietà generale: "In una circonferenza congiungi gli estremi di due corde parallele disuguali. Il quadrilatero ottenuto e' un trapezio isoscele."

Pertanto abbiamo che:

AB=CE in quanto lati obliqui del primo trapezio isoscele;

DF=AB in quanto lati obliqui del secondo trapezio isoscele.

Allora, per transitività: CE=DF e tali segmenti essendo uguali e compresi tra due rette parallele saranno necessariamente paralleli.

Questo conclude il nostro esercizio, infatti il quadrilatero CEFD avendo i lati opposti a due a due paralleli altro non è se non un parallelogramma.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Pelide98

Re: Dimostrazione parallelogramma formato da 2 circonferenze secanti #55229

avt
Pelide98
Punto
È da 3 giorni che sto cercando la soluzione e bastava sapere la proprietà che hai riportato! Grazie mille!
Ringraziano: Galois
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Os