Dimostrazione con triangolo isoscele e bisettrici

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Dimostrazione con triangolo isoscele e bisettrici #54157

avt
andreareset88
Punto
Non mi riesce questa dimostrazione: dimostra che in un triangolo isoscele i segmenti delle bisettrici degli angoli esterni formati dalla base e dai prolungamenti dei due lati uguali (compresi fra i vertici e i prolungamenti dei lati stessi) sono uguali, e si dividono in parti rispettivamente uguali.
Potete aiutarmi?
 
 

Dimostrazione con triangolo isoscele e bisettrici #54172

avt
Galois
Coamministratore
Ciao andreareset88 emt

Iniziamo col farci un bel disegnino emt

dimostrazione con triangolo isoscele


Per ipotesi sappiamo che il triangolo è isoscele e quindi ne ricaviamo che:

(1) \ AB=AC

(2) \ A\hac{C}B=A\hac{B}C

Inoltre le rette CD e BE sono bisettrici rispettivamente degli angoli B\hat{C}E e C\hat{B}D, quindi sappiamo che:

(3) \ B\hat{C}D=E\hat{C}D

(4) \ C\hat{B}E=D\hat{B}E

Sfruttando queste ipotesi, dobbiamo dimostrare che:

BE=CD, CF=BF e EF=DF

Prima di procedere (lo scrivo ora perché ci servirà tra poco) osserva che:

(5) \ A\hat{C}D=A\hat{B}E in quanto:

B\hat{C}E=C\hat{B}D poiché angoli esterni adiacenti a due angoli uguali (i due angoli di base) e quindi le 4 parti ottenute dalla divisione delle bisettrici sono tutte uguali fra loro, da cui ricaviamo che A\hat{C}D=A\hat{B}E in quanto ottenuti da differenza di angoli a due a due uguali

Iniziamo col considerare i triangoli AEB e ACD. Essi sono uguali per il secondo criterio di congruenza! Infatti hanno:

AC=AB per ipotesi (1)

l'angolo \hat{A} in comune

A\hat{C}D=A\hat{B}E (appena dimostrato)

Essendo i due triangoli uguali avranno uguali anche i lati e quindi BE=CD


Proviamo ora che FC=FB

Basta considerare il triangolo CFB che, per quanto prima detto, ha B\hat{C}F=F\hat{B}C, quindi, è isoscele su AB e come tale FC=FB

Infine EF=DF in quanto ottenuti dalla differenza di segmenti uguali.
Ringraziano: Pi Greco, andreareset88, Ginny001
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