Dimostrazione di geometria usando le disuguaglianze triangolari?

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Dimostrazione di geometria usando le disuguaglianze triangolari? #44216

avt
nutella
Punto
Ciao, mi potreste aiutare con questa dimostrazione da effettuare con le disuguaglianze triangolari? Ho provato a risolverlo ma non mi viene nessuna idea... :(

Il testo dice: dato un angolo di vertice A ed un punto Q interno all'angolo prendi su uno dei lati dell'angolo un punto P in modo tale che risuti AQ congruente a AP. Congiungi Q con P e prolunga QP fino all'altro a incontrare l'altro lato dell'angolo in un punto chiamato F. dimostra che AF >AP.

Grazie in anticipo e ciao!
 
 

Re: Dimostrazione di geometria usando le disuguaglianze triangolari? #44274

avt
Galois
Amministratore
Ciao Nutella!

Innanzitutto ricordiamo le due proprietà che ci serviranno in questa dimostrazione:

1) In ogni triangolo un angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno non adiacente

2) In ogni triangolo ad angolo maggiore sta opposto il lato maggiore

Ricordate queste proprietà facciamoci un bel disegno per inquadrare bene la situazione:

grafico


Consideriamo il triangolo AQF.

L'angolo \beta è un angolo esterno a tale triangolo, quindi per la proprietà 1) sopra citata: \beta > \gamma.

Ora, poiché il triangolo APQ è un triangolo isoscele (per ipotesi) ha gli angoli alla base uguali, ovvero

\alpha  = \beta

Pertanto, sostituendo nella relazione precedente \alpha al posto di \beta si ha:

\alpha  > \gamma.

Consideriamo ora il triangolo APF.

Per la proprietà 2) sopra citata, essendo \alpha  > \gamma, ed essendo \alpha  opposto al lato AF e \gamma opposto al lato AP si ha:

AF > AP

che è quanto si voleva provare.

Spero di essere stato chiaro. Se hai dubbi non esitare a chiedere! emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, nutella, CarFaby

Re: Dimostrazione di geometria usando le disuguaglianze triangolari? #44289

avt
nutella
Punto
Grazie mille, da sola non ce l'avrei mai fatta!
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Os