Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero

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Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40637

avt
lorenzo45654
Frattale
Buongiorno a tutti,
vi disturbo per chiedervi se potete darmi qualche dritta per svolgere questo problema di geometria piana (l'ho trovato su un testo di seconda liceo in fondo al capitolo sui radicali) che non sono riuscito, ahimè, a risolvere
Dato un quadrilatero ABCD tale che AB=BC=10 ABC=60^{o} e ADC=45^{o} calcolarne perimetro e area.
I risultati sono 5(\sqrt{3}+\sqrt{6}+5) per il perimetro e
\frac{75}{2}(1+\sqrt{3}) per l'area.

Io ho fatto questo ragionamento: ABC è un triangolo equilatero dunque AC=10 e da questo deduco che DAC+ACD=135^{o} ma poi non riesco a dire di più...qualcuno di voi ha qualche idea?
 
 

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40687

avt
cicchibio
Cerchio
Ciao Lorenzo, fai così il disegno: AD parallelo a BC, e congiungi i lati con gli angoli assegnati.

Sia AH l'altezza del triangolo equilatero ABC.
Prolunga C orizzontalmente tratteggiandolo.
Prolunga D verticalmente verso il basso.
Chiama il punto di intersezione dei due prolungamenti K.
Quindi  DK = AH .
Inoltre dato che  ADC = 45^o anche  CDK = 45^o

Quindi il triangolo CDK è un triangolo rettangolo e anche isoscele:

 CK = DK = AH

Quindi calcoli AH:

 AH = AB\sqrt{3}/2 = 5\sqrt{3}

Il segmento AD è lungo:

 AD = HC + CK = 5 + 5\sqrt{3}

Applichi il teorema di Pitagora al triangolo CKD:

 DC^2 = CK^2 + DK^2 = 2DK^2

 DC = \sqrt{2}DK = \sqrt{2}\sqrt{3}*5 = 5\sqrt{6}

 Perimetro = AB + BC + DC + AD

 Perimetro = 10 + 10 + 5\sqrt{6} + ( 5 + 5\sqrt{3})

 Perimetro = 5(5 + \sqrt{6} + \sqrt{3})

Per l'area basta sommare le aree dei triangoli ABC e ADC, lascio a te. emt
Ringraziano: Omega, lorenzo45654, Ifrit, kameor

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40691

avt
lorenzo45654
Frattale
Ciao Chichibio,
grazie per la risposta, ma ho ancora un dubbio. Come mai posso presumere che AD è parallelo a BC? Ti posto il testo dell'esercizio (che è il numero 2 punto a))
Allegati:

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40695

avt
cicchibio
Cerchio
Il disegno non lascia dubbi sul fatto che i due lati AD e BC siano paralleli. Io l'ho supposto in quanto non era vietato dal problema ed era la soluzione più semplice. Non saprei se si può fare il problema senza questa supposizione...
Ringraziano: Omega, lorenzo45654

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40699

avt
Omega
Amministratore
Ciao a tutti emt

Anch'io sono convinto che si debbano assumere i due lati AD,BC come paralleli, in caso contrario non mi sembra che il quadrilatero possa essere risolto. Oggi pomeriggio ci ho smattato un po' senza l'ipotesi di parallelismo, e senza approdare a nulla. emt
Ringraziano: lorenzo45654, cicchibio, kameor

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40702

avt
lorenzo45654
Frattale
Grazie Omega e Chichibio per l'aiuto. Non è la prima volta che trovo un errore su un libro di testo però è inevitabile smattare ogni volta che se ne trova uno....
Ringraziano: Omega, cicchibio

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40703

avt
Omega
Amministratore
Di niente, grazie soprattutto a Chicchibio per essersi prodigato nella risposta! emt

Gli esercizi di seconda liceo sono i peggiori, in questo senso: già in partenza bisogna limitare al minimo l'arsenale (niente trigonometria! emt ), poi tendenzialmente 3 esercizi su 10 hanno tracce barbine. Giuro, in generale ho molte più difficoltà nel risolvere esercizi del biennio piuttosto che esercizi di Analisi Funzionale! emt

Calcolo del perimetro e dell'area di un quadrilatero #40713

avt
kameor
Sfera
mi accodo, anch'io avevo il dubbio che mancasse qualche dato emt
Ringraziano: Omega
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Os