Esagono e diagonali di un rettangolo

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Esagono e diagonali di un rettangolo #36083

avt
anna vicaretti
Cerchio
Ciao, avrei bisogno del vostro prezioso aiuto con un problema sulle diagonali di un rettangolo e un esagono.

In un esagono regolare congiungi i punti medi di due coppie di lati opposti. Dimostra che tali segmenti sono le diagonali di un rettangolo.

Grazie mille!
 
 

Esagono e diagonali di un rettangolo #36087

avt
Danni
Sfera
Ciao Anna emt

Un'altra cosa importante per capire bene la Geometria è fare un bel disegno, chiaro e preciso.

Traccia un cerchio di centro O e costruisci l'esagono regolare, che ha il lato congruente al raggio della circonferenza.

Diciamo ABCDEF l'esagono, con le lettere disposte cominciando in alto a sinistra e in senso antiorario (quindi il lato AF in alto, ed opposto ad AF il lato CD in basso)

Ipotesi

esagono regolare ABCDEF

CM = MD
AN = NF
BP = PA
DQ = QE

da cui

PA = AN = MD = DQ

Tesi

MPNQ rettangolo.

Dimostrazione

Se AN = NF = CM = MD, MN è perpendicolare ad AF e CD.

Se BP = PA = DQ = QE, PQ è perpendicolare a BA e DE.

Allora MN e PQ passano per il centro O.

I triangoli APN e DMQ hanno:

PA = AN = MD = DQ
PA^N = MD^Q = 120°

e sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza (due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti).

Risulta allora PN = MQ.

Risulta anche PN^O = QM^N = 60°, perché complementari degli angoli AP^N = AN^P ampi 30°.

Ma PN^O = QM^N sono alterni interni delle rette PN e MQ tagliate dalla trasversale MN e per questo PN e MQ risultano parallele.

Infine i triangoli PON e MOQ sono triangoli equilateri per avere gli angoli ampi 60°, quindi

ON = OP = OM = OQ

da cui MN = PQ.

Il quadrilatero MPNQ è

1) un parallelogramma per avere due lati paralleli e congruenti
(PN // MQ, PN = MQ);

2) un rettangolo perché le diagonali sono congruenti.

cvd
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Esagono e diagonali di un rettangolo #36088

avt
anna vicaretti
Cerchio
Se sei un prof di matematica, beati i tuoi studenti!
Grazie
Ciao e buona notte!
Ringraziano: Danni

Esagono e diagonali di un rettangolo #36089

avt
Danni
Sfera
Grazie a te. Sisì, sono un insegnante di Matematica ora in pensione ma non so se i miei studenti fossero proprio beati... emt

Buona notte a te e buona domenica!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os