Problema su un triangolo formato da corde

Ciao, qualcuno sa aiutarmi con questa dimostrazione su un triangolo formato dalle corde di una circonferenza? Il testo dice:

Su una circonferenza di centro 0 considera due archi consecutivi AB e BC e indica con M il punto medio di AB e con N il punto medio di BC. Traccia la corda MN che interseca la corda AB in E e la corda BC in F. Dimostra che BE=BF. E se gli archi AB e BC sono tali per cui le corde AB e BC sono congruenti al raggio OC di che natura è il triangolo MON?

Profondamente riconoscente.

Ciao Anna

Ipotesi:
cerchio di centro O
Arco AB con AM = MB
Arco BC con BN = NC
Corda MN
E ∈ MN Λ AB
F ∈ MN Λ BC

Tesi:
BE = BF

Dimostrazione:
congiungi il centro O della circonferenza con M e N
Il triangolo OMN è un triangolo isoscele sulla base MN perché OM = ON = raggi della circonferenza.
Per questo è
OM^N = ON^M

OM interseca AB in H
ON interseca BC in K
Poiché AM arco = MB arco, H è perpendicolare ad AB
Poiché BN arco = NC arco, K è perpendicolare a BC
(è lo stesso teorema visto ieri)

Allora i due triangoli rettangoli MHE e NKF hanno
HM^E = KN^F
per quanto sopra dimostrato.
Saranno quindi congruenti gli altri due angoli acuti perché complementari di angoli congruenti:
HE^M = KF^N

Da questo consegue
BE^F = BF^E perché opposti al vertice di angoli congruenti.
Il triangolo BEF ha due angoli congruenti ed quindi isoscele sulla base EF, da cui la tesi
BE = BF

La seconda parte del teorema chiede la natura del triangolo MON nel caso in cui AB = BC = OC = raggio della circonferenza.

Il triangolo AOB è un triangolo equilatero perché
OA = OB = AB = raggio
Il triangolo BOC è equilatero perché
OB = OC = BC = raggio

Di conseguenza
MO^B = BO^N = 30°
Ma MO^B + BO^N = MO^N
da cui MO^N = 60°
Il triangolo MON ha
OM = ON (raggi)
MO^N = 60°
ed è quindi equilatero.

Quando li spiegate sembrano tutti facii.....pian pianino sento che la nebbia comincia a diradarsi.
Grazie infinite

E dopo la nebbia arriva il sole

Grazie a te, è un piacere aiutare persone gentili come sei tu