Calcolare la base minore di un trapezio ABCD

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Calcolare la base minore di un trapezio ABCD #29987

avt
Cami
Punto
Potreste gentilmente aiutarmi a risolvere questo problema? Devo calcolare la base minore di un trapezio ABCD...

Testo dell'esercizio

In un trapezio ABCD la base maggiore AB misura 80, le diagonali DB e AC misurano rispettivamente 80 e 60 e incontrandosi formano un angolo di 120°. Calcola la misura della base minore.

Grazie anticipatamente emt
 
 

Re: Calcolare la base minore di un trapezio ABCD #30106

avt
Omega
Amministratore
Ciao Cami emt

Risponderti è molto più complicato del previsto, senza sapere quale classe (ed eventualmente quale tipo di liceo) frequenterai quest'anno.

Ogni problema ha diversi metodi di risoluzione, che dipendono dagli strumenti di cui si dispone.

Conoscere il grado di scolarizzazione di chi chiede aiuto è essenziale per...chi è ben disposto ad aiutare. emt

Re: Calcolare la base minore di un trapezio ABCD #30163

avt
Cami
Punto
Ho frequentato la terza di un liceo scientifico. Penso che il problema si possa risolvere con la trigonometria ma io non ci sono riuscita emt

Re: Calcolare la base minore di un trapezio ABCD #30217

avt
Danni
Sfera
Ciao Cami emt

Qui la Trigonometria serve solo all'ultimo. Dovresti dare una ripassatina alla teoria delle similitudini.

Se indichi con O il punto di intersezione delle diagonali del trapezio, i triangoli AOB e DOC sono simili perché hanno gli angoli ordinatamente congruenti (vedi i criteri di similitudine). Ricordi la faccenda degli alterni interni nelle rette parallele tagliate da una trasversale?

Vista la proporzionalità dei lati omologhi, se imponi

\overline{AO} = x\;\;(0 < x < 60)

risulta immediato che

\overline{OB} = \frac{4}{3}x

Infatti le diagonali stanno tra loro nello stesso rapporto:

BD = \frac{4}{3} AC

Se non vedi subito questa importantissima proprietà, puoi sempre verificarla impostando la proporzione tra i lati omologhi dei due triangoli citati:

AO : OC = OB : OD

x : (60 - x) = \overline{OB} : (80 - \overline{OB})

Applichi la proprietà del comporre ed ottieni

(x + 60 - x) : x = (\overline{OB} + 80 - \overline{OB}) : \overline{OB}

da cui

60 : x = 80 : \overline{OB}

quindi

\overline{OB} = \frac{4}{3}x

Ora ti è facile applicare il teorema di Carnot al triangolo AOB
e ricavi il valore di x:

\overline{AB^2} = \overline{AO^2} + \overline{OB^2} - 2\overline{AO}\cdot \overline{OB}\cdot cos(120^o)

Una volta determinato il valore dell'incognita, lo sostituisci nella relazione che lega la base minore DC a tutto il resto. Imposta ancora un proporzione:

DC : AB = OC : OA

\overline{DC} = \frac{80(60 - x)}{x}

Sostituisci il valore dell'incognita nell'equazione ed ottieni la misura della base minore DC

Lascio a te i calcoli, sono piuttosto semplici. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Re: Calcolare la base minore di un trapezio ABCD #30243

avt
Cami
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Danni
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Os