Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo

Non riesco a risolvere il seguente problema di secondo grado con un triangolo rettangolo. Il testo del problema di secondo grado è questo:

in un triangolo rettangolo un cateto misura in meno dell'ipotenusa e l'altro i del primo. Determinare l'area del triangolo.

Aiutatemi per favore.

Per risolvere il problema usando le equazioni, bisogna analizzare il testo ed estrapolare i dati che consentono di costruire l'equazione risolvente.

Chiamiamo la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e le misure dei due cateti.

Il testo dell'esercizio ci dice che un cateto misura in meno rispetto all'ipotenusa, dunque:



Inoltre sappiamo che il secondo cateto misura i del primo, ossia



Esprimiamo anche il secondo cateto in termini di sostituendo a l'espressione



Ricordiamo che l'area del triangolo rettangolo si può calcolare in due modi:

- è il semiprodotto dei cateti



- è il semiprodotto tra l'ipotenusa e l'altezza relativa all'ipotenusa



Chiaramente ci conviene ricorrere alla prima formula: il problema è che ci manca l'equazione che permetta di calcolare la misura dell'ipotenusa.

Questa equazione possiamo ricavarla con il teorema di Pitagora



Sostituiamo le espressioni di così da ottenere l'equazione nell'incognita



Utilizziamo la proprietà delle potenze che permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base



dopodiché trasportiamo i termini al primo membro e calcoliamo in seguito il minimo comune multiplo tra i denominatori



Cancelliamo il denominatore comune



e sviluppiamo i quadrati di binomio



Svolgiamo i calcoli che consentono di eliminare le parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni



sommiamo tra loro i termini simili e infine ordiniamo i monomi secondo le potenze decrescenti dell'incognita



Risolviamo questa equazione di secondo grado, ma prima raccogliamo il fattore comune -9, in questo modo i coefficienti saranno numeri più piccoli e sarà più semplice continuare la risoluzione



Dividiamo i due membri per la costante moltiplicativa -9, ricavando così l'equazione equivalente



Ora che l'equazione è ridotta in forma normale, indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto



Poiché è un numero pari, possiamo utilizzare la formula del delta quarti



Esso è un numero positivo, conseguentemente l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte



Con le soluzioni dell'equazione possiamo ricavare le misure dei due cateti grazie alle relazioni



per poi calcolare l'area con la formula apposita. Attenzione! sono tre enti geometrici e, in quanto tali, non possono essere negativi.

In altri termini, la misura di un lato di un triangolo non può essere negativa: dobbiamo quindi controllare che i valori di non generino risultati insensati dal punto di vista geometrico.

Se ad esempio , le misure dei cateti sono



che sono entrambe negative, pertanto non hanno senso dal punto di vista geometrico.

Se invece , i due cateti misurano



Le lunghezze dei cateti sono entrambe positive e hanno senso dal punto di vista geometrico: siamo autorizzati a calcolare l'area del triangolo rettangolo mediante la relazione



e mettere un punto all'esercizio.