Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo

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Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25437

avt
flautino
Punto
Non riesco a risolvere il seguente problema di secondo grado con un triangolo rettangolo. Il testo del problema di secondo grado è questo:

in un triangolo rettangolo un cateto misura 9\ \mbox{cm} in meno dell'ipotenusa e l'altro i \frac{3}{4} del primo. Determinare l'area del triangolo.

Aiutatemi per favore.
 
 

Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25441

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il problema usando le equazioni, bisogna analizzare il testo ed estrapolare i dati che consentono di costruire l'equazione risolvente.

Chiamiamo i la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e c_1\ \mbox{e} \ c_2 le misure dei due cateti.

Il testo dell'esercizio ci dice che un cateto misura 9\mbox{ cm} in meno rispetto all'ipotenusa, dunque:

c_1=i-9

Inoltre sappiamo che il secondo cateto misura i \frac{3}{4} del primo, ossia

c_2=\frac{3}{4}c_1

Esprimiamo anche il secondo cateto in termini di i sostituendo a c_1 l'espressione i-9

c_2=\frac{3}{4}(i-9)

Ricordiamo che l'area del triangolo rettangolo si può calcolare in due modi:

- è il semiprodotto dei cateti

\mbox{Area}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}

- è il semiprodotto tra l'ipotenusa e l'altezza relativa all'ipotenusa

\mbox{Area}=\frac{i\cdot h}{2}

Chiaramente ci conviene ricorrere alla prima formula: il problema è che ci manca l'equazione che permetta di calcolare la misura dell'ipotenusa.

Questa equazione possiamo ricavarla con il teorema di Pitagora

i^2=c_1^2+c_2^2

Sostituiamo le espressioni di c_1,\ c_2 così da ottenere l'equazione nell'incognita i

i^2=(i-9)^2+\left[\frac{3}{4}(i-9)\right]^2

Utilizziamo la proprietà delle potenze che permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

i^2=(i-9)^2+\frac{9}{16}(i-9)^2

dopodiché trasportiamo i termini al primo membro e calcoliamo in seguito il minimo comune multiplo tra i denominatori

\\ i^2-(i-9)^2-\frac{9}{16}(i-9)^2=0 \\ \\ \\ \frac{16i^2-16(i-9)^2-9(i-9)^2}{16}=0

Cancelliamo il denominatore comune

16i^2-16(i-9)^2-9(i-9)^2=0

e sviluppiamo i quadrati di binomio

16i^2-16(i^2-18 i+81)-9(i^2-18i+81)=0

Svolgiamo i calcoli che consentono di eliminare le parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni

16i^2-16 i^2+288 i -1296-9i^2+162 i-729=0

sommiamo tra loro i termini simili e infine ordiniamo i monomi secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-9i^2+450i-2025=0

Risolviamo questa equazione di secondo grado, ma prima raccogliamo il fattore comune -9, in questo modo i coefficienti saranno numeri più piccoli e sarà più semplice continuare la risoluzione

-9(i^2-50i+225)=0

Dividiamo i due membri per la costante moltiplicativa -9, ricavando così l'equazione equivalente

i^2-50i+225=0

Ora che l'equazione è ridotta in forma normale, indichiamo con a,\ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-50 \ \ \ ; \ \ \ c=225

Poiché b è un numero pari, possiamo utilizzare la formula del delta quarti

\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-25)^2-225= \\ \\ =625-225=400

Esso è un numero positivo, conseguentemente l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

\\ i_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-(-25)\pm\sqrt{400}= \\ \\ =25\pm 20=\begin{cases}25-20=5=i_1 \\ \\ 25+20=45=i_2\end{cases}

Con le soluzioni dell'equazione possiamo ricavare le misure dei due cateti grazie alle relazioni

c_1=i-9 \ \ \ ; \ \ \ c_2=\frac{3}{4}(i-9)

per poi calcolare l'area con la formula apposita. Attenzione! c_1, \ c_2\ \mbox{e} \ i sono tre enti geometrici e, in quanto tali, non possono essere negativi.

In altri termini, la misura di un lato di un triangolo non può essere negativa: dobbiamo quindi controllare che i valori di i non generino risultati insensati dal punto di vista geometrico.

Se ad esempio i=4\mbox{ cm}, le misure dei cateti sono

\\ c_1=i-9=4-9=-5<0 \\ \\ c_2=\frac{3}{4}(i-9)=\frac{3}{4}\cdot(-5)=-\frac{15}{4}<0

che sono entrambe negative, pertanto non hanno senso dal punto di vista geometrico.

Se invece i=45\mbox{ cm}, i due cateti misurano

\\ c_1=i-9=45-9=36\mbox{ cm} \\ \\ c_2=\frac{3}{4}(45-9)=\frac{3}{4}\cdot 36=27\mbox{ cm}

Le lunghezze dei cateti sono entrambe positive e hanno senso dal punto di vista geometrico: siamo autorizzati a calcolare l'area del triangolo rettangolo mediante la relazione

\mbox{Area}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}=\frac{36\cdot 27}{2}=486\mbox{ cm}^2

e mettere un punto all'esercizio.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Danni
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Os