Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo

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Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25437

flautino Punto	Non riesco a risolvere il seguente problema di secondo grado con un triangolo rettangolo. Il testo del problema di secondo grado è questo: in un triangolo rettangolo un cateto misura $9\ \mbox{cm}$ in meno dell'ipotenusa e l'altro i $\frac{3}{4}$ del primo. Determinare l'area del triangolo. Aiutatemi per favore.

Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25441

Omega

Amministratore

Per risolvere il problema usando le equazioni, bisogna analizzare il testo ed estrapolare i dati che consentono di costruire l'equazione risolvente.

Chiamiamo

la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e $c_1\ \mbox{e} \ c_2$ le misure dei due cateti.

Il testo dell'esercizio ci dice che un cateto misura $9\mbox{ cm}$ in meno rispetto all'ipotenusa, dunque:

Inoltre sappiamo che il secondo cateto misura i $\frac{3}{4}$ del primo, ossia

$c_2=\frac{3}{4}c_1$

Esprimiamo anche il secondo cateto in termini di

sostituendo a

l'espressione

$c_2=\frac{3}{4}(i-9)$

Ricordiamo che l'area del triangolo rettangolo si può calcolare in due modi:

- è il semiprodotto dei cateti

$\mbox{Area}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}$

- è il semiprodotto tra l'ipotenusa e l'altezza relativa all'ipotenusa

$\mbox{Area}=\frac{i\cdot h}{2}$

Chiaramente ci conviene ricorrere alla prima formula: il problema è che ci manca l'equazione che permetta di calcolare la misura dell'ipotenusa.

Questa equazione possiamo ricavarla con il teorema di Pitagora

Sostituiamo le espressioni di $c_1,\ c_2$ così da ottenere l'equazione nell'incognita

$i^2=(i-9)^2+\left[\frac{3}{4}(i-9)\right]^2$

Utilizziamo la proprietà delle potenze che permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

$i^2=(i-9)^2+\frac{9}{16}(i-9)^2$

dopodiché trasportiamo i termini al primo membro e calcoliamo in seguito il minimo comune multiplo tra i denominatori

$\\ i^2-(i-9)^2-\frac{9}{16}(i-9)^2=0 \\ \\ \\ \frac{16i^2-16(i-9)^2-9(i-9)^2}{16}=0$

Cancelliamo il denominatore comune

e sviluppiamo i quadrati di binomio

Svolgiamo i calcoli che consentono di eliminare le parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni

sommiamo tra loro i termini simili e infine ordiniamo i monomi secondo le potenze decrescenti dell'incognita

Risolviamo questa equazione di secondo grado, ma prima raccogliamo il fattore comune -9, in questo modo i coefficienti saranno numeri più piccoli e sarà più semplice continuare la risoluzione

Dividiamo i due membri per la costante moltiplicativa -9, ricavando così l'equazione equivalente

Ora che l'equazione è ridotta in forma normale, indichiamo con $a,\ b\ \mbox{e} \ c$ rispettivamente il coefficiente di

, quello di

e il termine noto

$a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-50 \ \ \ ; \ \ \ c=225$

Poiché

è un numero pari, possiamo utilizzare la formula del delta quarti

$\\ \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(-25)^2-225= \\ \\ =625-225=400$

Esso è un numero positivo, conseguentemente l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

$\\ i_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-(-25)\pm\sqrt{400}= \\ \\ =25\pm 20=\begin{cases}25-20=5=i_1 \\ \\ 25+20=45=i_2\end{cases}$

Con le soluzioni dell'equazione possiamo ricavare le misure dei due cateti grazie alle relazioni

$c_1=i-9 \ \ \ ; \ \ \ c_2=\frac{3}{4}(i-9)$

per poi calcolare l'area con la formula apposita. Attenzione! $c_1, \ c_2\ \mbox{e} \ i$ sono tre enti geometrici e, in quanto tali, non possono essere negativi.

In altri termini, la misura di un lato di un triangolo non può essere negativa: dobbiamo quindi controllare che i valori di

non generino risultati insensati dal punto di vista geometrico.

Se ad esempio $i=4\mbox{ cm}$ , le misure dei cateti sono

$\\ c_1=i-9=4-9=-5<0 \\ \\ c_2=\frac{3}{4}(i-9)=\frac{3}{4}\cdot(-5)=-\frac{15}{4}<0$

che sono entrambe negative, pertanto non hanno senso dal punto di vista geometrico.

Se invece $i=45\mbox{ cm}$ , i due cateti misurano

$\\ c_1=i-9=45-9=36\mbox{ cm} \\ \\ c_2=\frac{3}{4}(45-9)=\frac{3}{4}\cdot 36=27\mbox{ cm}$

Le lunghezze dei cateti sono entrambe positive e hanno senso dal punto di vista geometrico: siamo autorizzati a calcolare l'area del triangolo rettangolo mediante la relazione

$\mbox{Area}=\frac{c_1\cdot c_2}{2}=\frac{36\cdot 27}{2}=486\mbox{ cm}^2$

e mettere un punto all'esercizio.

Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Danni

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