Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo

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Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25437

avt
flautino
Punto
Non riesco a risolvere il seguente problema di secondo grado con un triangolo rettangolo. Il testo del problema di secondo grado è questo:

in un triangolo rettangolo un cateto misura 9 cm in meno dell'ipotenusa e l'altro i (3)/(4) del primo. Determinare l'area del triangolo.

Aiutatemi per favore.
 
 

Problema di secondo grado con un triangolo rettangolo #25441

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere il problema usando le equazioni, bisogna analizzare il testo ed estrapolare i dati che consentono di costruire l'equazione risolvente.

Chiamiamo i la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo e c_1 e c_2 le misure dei due cateti.

Il testo dell'esercizio ci dice che un cateto misura 9 cm in meno rispetto all'ipotenusa, dunque:

c_1 = i-9

Inoltre sappiamo che il secondo cateto misura i (3)/(4) del primo, ossia

c_2 = (3)/(4)c_1

Esprimiamo anche il secondo cateto in termini di i sostituendo a c_1 l'espressione i-9

c_2 = (3)/(4)(i-9)

Ricordiamo che l'area del triangolo rettangolo si può calcolare in due modi:

- è il semiprodotto dei cateti

Area = (c_1·c_2)/(2)

- è il semiprodotto tra l'ipotenusa e l'altezza relativa all'ipotenusa

Area = (i·h)/(2)

Chiaramente ci conviene ricorrere alla prima formula: il problema è che ci manca l'equazione che permetta di calcolare la misura dell'ipotenusa.

Questa equazione possiamo ricavarla con il teorema di Pitagora

i^2 = c_1^2+c_2^2

Sostituiamo le espressioni di c_1, c_2 così da ottenere l'equazione nell'incognita i

i^2 = (i-9)^2+[(3)/(4)(i-9)]^2

Utilizziamo la proprietà delle potenze che permette di distribuire l'esponente a ciascun fattore della base

i^2 = (i-9)^2+(9)/(16)(i-9)^2

dopodiché trasportiamo i termini al primo membro e calcoliamo in seguito il minimo comune multiplo tra i denominatori

 i^2-(i-9)^2-(9)/(16)(i-9)^2 = 0 ; (16i^2-16(i-9)^2-9(i-9)^2)/(16) = 0

Cancelliamo il denominatore comune

16i^2-16(i-9)^2-9(i-9)^2 = 0

e sviluppiamo i quadrati di binomio

16i^2-16(i^2-18 i+81)-9(i^2-18i+81) = 0

Svolgiamo i calcoli che consentono di eliminare le parentesi tonde, usando a dovere la regola dei segni

16i^2-16 i^2+288 i-1296-9i^2+162 i-729 = 0

sommiamo tra loro i termini simili e infine ordiniamo i monomi secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-9i^2+450i-2025 = 0

Risolviamo questa equazione di secondo grado, ma prima raccogliamo il fattore comune -9, in questo modo i coefficienti saranno numeri più piccoli e sarà più semplice continuare la risoluzione

-9(i^2-50i+225) = 0

Dividiamo i due membri per la costante moltiplicativa -9, ricavando così l'equazione equivalente

i^2-50i+225 = 0

Ora che l'equazione è ridotta in forma normale, indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a = 1 ; b = -50 ; c = 225

Poiché b è un numero pari, possiamo utilizzare la formula del delta quarti

 (Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-25)^2-225 = 625-225 = 400

Esso è un numero positivo, conseguentemente l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

 i_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = -(-25)±√(400) = 25±20 = 25-20 = 5 = i_1 ; 25+20 = 45 = i_2

Con le soluzioni dell'equazione possiamo ricavare le misure dei due cateti grazie alle relazioni

c_1 = i-9 ; c_2 = (3)/(4)(i-9)

per poi calcolare l'area con la formula apposita. Attenzione! c_1, c_2 e i sono tre enti geometrici e, in quanto tali, non possono essere negativi.

In altri termini, la misura di un lato di un triangolo non può essere negativa: dobbiamo quindi controllare che i valori di i non generino risultati insensati dal punto di vista geometrico.

Se ad esempio i = 4 cm, le misure dei cateti sono

 c_1 = i-9 = 4-9 = -5 < 0 ; c_2 = (3)/(4)(i-9) = (3)/(4)·(-5) = -(15)/(4) < 0

che sono entrambe negative, pertanto non hanno senso dal punto di vista geometrico.

Se invece i = 45 cm, i due cateti misurano

 c_1 = i-9 = 45-9 = 36 cm ; c_2 = (3)/(4)(45-9) = (3)/(4)·36 = 27 cm

Le lunghezze dei cateti sono entrambe positive e hanno senso dal punto di vista geometrico: siamo autorizzati a calcolare l'area del triangolo rettangolo mediante la relazione

Area = (c_1·c_2)/(2) = (36·27)/(2) = 486 cm^2

e mettere un punto all'esercizio.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Danni
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Os