Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio

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Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21723

avt
Franci
Punto
Scusate, non riesco a risolvere questo problema su un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza. Mi potreste aiutare?

Il testo dell'esercizio dice:

inscrivi in una semicirconferenza di diametro AB=2r un trapezio isoscele ABCD in cui la misura del perimetro sia minore di 121/25 di r.

Grazie in anticipo emt
 
 

Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21749

avt
Danni
Sfera
Ciao Franci emt la Geometria Analitica non c'entra, a meno che nella traccia non sia richiesto esplicitamente di impostare il problema con riferimento ad un sistema cartesiano, cosa che qui non risulta.

Inscrivi un trapezio isoscele (click per le formule sul trapezio isoscele) ABCD in una semicirconferenza (base maggiore AB coincidente con il diametro) e traccia l'altezza CH

Indica

\overline{HB} = x

con

0 < x < r

Per il primo teorema di Euclide è

\overline{BC} = \sqrt{AB \cdot   {HB}} = \sqrt{2rx}

Risulta inoltre

\overline{DC} = \overline{AB} - 2\overline{HB}} = 2r - 2x

Per la relazione data dal perimetro è

\overline{AB} + \overline{DC} + 2\overline{BC} < \frac{121}{25}r

4r - 2x + 2\sqrt{2rx} < \frac{121}{25}r

2\sqrt{2rx} < \frac{21}{25}r + 2x

50\sqrt{2rx} < 21r + 50x

Eleva entrambi i membri al quadrato ed ottieni la disequazione di II grado

2500x^{2} - 2900rx + 441r^{2} > 0

Le soluzioni dell'equazione associata sono:

x = \frac{9}{50}r \cup x = \frac{49}{50}r

Tenendo conto delle limitazioni iniziali, il problema è risolto per

0 < x < \frac{9}{50}r \cup \frac{49}{50}r < x < r

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Franci, Ifrit

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21754

avt
Omega
Amministratore
Danni ha scritto:
Ciao Franci emt la Geometria Analitica non c'entra, a meno che nella traccia non sia richiesto esplicitamente di impostare il problema con riferimento ad un sistema cartesiano, cosa che qui non risulta.

Come darti torto? emt

[Mod] Sposto la discussione da "Geometria Analitica" a "Geometria delle figure piane e dei solidi". [/Mod]
Ringraziano: LittleMar, Danni

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21768

avt
Franci
Punto
Grazie, ho capito! Ma se come x il problema mette il lato AD come va risolto?? Grazie ancora emt
Ringraziano: Danni

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21774

avt
Danni
Sfera
Sempre con il primo teorema di Euclide.
Continuo a riferirmi a BC anziché AD, tanto sono congruenti emt

BC = x

BH = \frac{x^{2}}{2r}

DC = 2r - x^2

e imposti la disequazione ottenendo ovviamente valori diversi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Franci

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21775

avt
Franci
Punto
Ma DC=AB-2BH=2r-2(x^2)/r

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21777

avt
Franci
Punto
Scusa DC=AB-2BH=2r-x^2/r

Re: Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza, esercizio #21782

avt
Danni
Sfera
Sì, esatto, quando calcolo impongo r = 1 per fare prima e poi ho dimenticato di scriverlo.

Sarebbe bene però che si dessero tutte le indicazioni all'inizio o siamo costretti a risolvere il problema due volte e non sempre abbiamo il tempo di restare al pc.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Franci
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Os