Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza

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Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19261

avt
Dreams79
Cerchio
Ciao ragazzi, non riesco a risolvere un esercizio su un quadrilatero inscritto in una circonferenza di cui devo calcolare il perimetro e l'area.

La traccia dice: in una circonferenza di raggio 2, sono dati consecutivamente i vertici A B e C. Sapendo che gli archi AB e BC misurano rispettivamente 90 gradi e 60 gradi, calcolare il perimetro e l'area del quadrilatero inscritto in una circonferenza ABCO dove O è il centro della circonferenza.

Grazie dell'aiuto.

(Nel frattempo sto cercando di risolverlo pure io...)

Da una prima analisi ho pensato di calcolarmi il lato AB (corda) e il lato BC (corda) facendo rispettivamente

AB = 2r sen 90;
BC = 2r sen 60;

Può essere giusto?
 
 

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19280

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dreams79 emt

Procederei come segue: conoscendo la lunghezza dei due archi e del raggio della cerchio possiamo calcolare le misure degli angoli che gli archi sottendono al centro.

Occhio che il testo dice "gli archi AB,BC misurano rispettivamente 90^{o} e 60^{o}" e non "gli archi AB,BC sottendono angoli al centro di 90^{o} e 60^{o}".

La formula che ci serve è quella che lega angolo al centro, misura del raggio e misura dell'arco

l=\theta r

da cui

\theta=\frac{l}{r}

e quindi abbiamo A\hat{O}B=45^{o} e B\hat{O}C=30^{o}.

Fatto ciò puoi calcolare la misura delle corde corrispondenti agli archi con il teorema del coseno (teorema di Carnot), facendo riferimento ai triangoli ABO e BCO

AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cos{(A\hat{O}B)}

BC^2=BO^2+CO^2-2BO\cdot CO\cos{(B\hat{O}C)}

e ricavarne le misure di AB,BC estraendo le radici quadrate.

Per il perimetro del quadrilatero non credo ci saranno problemi a questo punto

2p_{Q}=AB+BC+AO+OC

mentre per l'area hai due modi per procedere:

1) calcolare l'area del quadrilatero come somma delle aree dei due triangoli. Per calcolare le aree dei due triangoli viene in nostro soccorso la formula trigonometrica per l'area di un triangolo qualsiasi

A_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot OB\cdot \sin{(A\hat{O}B)}

A_{BOC}=\frac{1}{2}BO\cdot OC\cdot \sin{(B\hat{O}C)}

e dunque

A_{AOBC}=A_{AOB}+A_{BOC}

2) Utilizzare la formula di Brahmagupta (vedi le formule per quadrilateri)

A_{AOBC}=\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-AO)(p-OC)}

dove p=\frac{1}{2}2p_{Q} indica il semiperimetro del quadrilatero. emt
Ringraziano: Pi Greco, Dreams79

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19281

avt
Dreams79
Cerchio
Perfetto...come sempre eccellente nelle risposte ^_^......Una domanda, se la traccia dice due archi ampi rispettivamente "AB 90" e "BC 60", allora posso applicare il teorema della corda considerando l'angolo alla circonferenza del primo arco 45 e del secondo arco 30 e ottengo un triangolo rettangolo AOB e uno isoscele BOC ?

Scusa delle continue domande, ma l'attesa per domani si sta facendo terribile -.- è l'ultimo compito dell'anno...e desidero togliere ogni dubbio
Ringraziano: Omega

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19283

avt
Omega
Amministratore
Sottolineo il ragionamento che sta alla base dello svolgimento che ti ho proposto (non in risposta a questo tuo ultimo post, è che rileggendo la mia risposta mi sono accorto di non essermi soffermato a sufficienza su un punto importante).

Gli archi di circonferenza (i segmenti curvilinei) si possono tranquillamente misurare in gradi o radianti, pur essendo linee e non angoli.

Se il testo dice "archi di misura x", con x una grandezza in gradi o radianti, per determinare i corrispondenti angoli al centro devi applicare la formula che ho scritto all'inizio della mia risposta precedente e dividere tale misura per la misura del raggio (che è un numero puro in questo contesto, scevro di un'unità di misura).

Morale: nell'applicare il teorema della corda se scrivi

AB = 2r sen 90;
BC = 2r sen 60;


intendi che gli angoli al centro misurano rispettivamente 90^{o},60^{o}, il che non è vero nel caso dell'esercizio considerato.

---

In riferimento al tuo ultimo post, puoi applicare il teorema della corda. Lo svolgimento dell'esercizio, chiaramente, non è univoco emt
Ringraziano: Pi Greco, Dreams79

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19285

avt
Dreams79
Cerchio
Perfetto...grazie mille....credo di avere tutto il necessario per fare domani un compito buono...speriamo bene ^_^.

Grazie davvero di cuore....
Ringraziano: Omega

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19288

avt
Omega
Amministratore
Di niente, figurati! emt

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19328

avt
Danni
Sfera
Ciao a tutti emt
Provo a dare una mia interpretazione del problema ma è scandaloso come certi testi mettano a dura prova la comprensione e quindi la pazienza degli studenti.

Parto dalla formula della lunghezza di un arco:

la lunghezza di un arco di circonferenza si ottiene dividendo la lunghezza della circonferenza per 360° e moltiplicando il risultato ottenuto per l'ampiezza dell'arco espressa in gradi:

l = \frac{2\pi\cdot r \cdot 90^{o}}{360^{o}} = \pi

Ora determino l'ampiezza dell'angolo al centro corrispondente:

\theta = \frac{l}{r} = \frac{\pi}{2}

Dunque l'angolo al centro misura 90° ed il corrispondente angolo alla circonferenza misura 45°

Lo stesso per l'arco ampio 60° ottenendo l'angolo alla circonferenza ampio 30°

Applico ora il teorema della corda:

AB = 2\cdot r \cdot sen(45^{o}}) = 2 \sqrt{2}

BC = 2 \cdot r \cdot sen(30^{o}) = 2

Risulta così che AB è il lato del quadrato inscritto e BC il lato dell'esagono regolare inscritto.

Poiché

AO = OC = r = 2

puoi calcolare facilmente perimetro e area del quadrilatero ABCO

2p(ABCO) = 6 + 2\sqrt{2} = 2(3 + \sqrt{2})

Il triangolo AOB è metà quadrato:

A_{s}(AOB) = \frac {r^{2}}{2} = 2

Il triangolo BOC è equilatero:

A_{s}(BOC) = \frac{r^{2}\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}

Sommiamo ed otteniamo:

A_{s}(ABCO) = 2 + \sqrt{3}

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Dreams79

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19359

avt
Dreams79
Cerchio
Grazie mille Danni....e comunque non sono solo i testi ad essere scandalosi, ci si mettono pure alcuni docenti che a spiegare le cose non sono degni e ti lasciano con mille dubbi che o devi risolvere da solo ( e qui grazie a DIO che ci siete voi per ogni dubbio) oppure pregare qualche santo che le cose del compito siano semplici...

Comunque rinnovo i ringraziamenti a tutti voi per la vostra gentilezza nel aiutare me a tanti altri nel modo più eccellente possibile.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Danni

Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza #19374

avt
Omega
Amministratore
In effetti nel mio svolgimento ho dato per scontato che l'interpretazione del testo fosse quella da me proposta, però la scelta è arbitraria: anche la soluzione proposta da Danni è assolutamente valida nel contesto del problema emt

Il vero problema, qui, non è tanto portare a termine lo svolgimento del problema, quanto più attribuire un significato a quel "misurano".

Questo è un esercizio per casa, dunque il problema si pone fino ad un certo punto Dreams79...Se dovesse capitarti un esercizio del genere in una verifica l'unica cosa da fare è far notare al professore che il testo è ambiguo, nel qual caso lo stesso docente non potrebbe fare a meno di fornire ulteriori informazioni in merito emt
Ringraziano: Dreams79, Danni
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