Perimetro e area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza
Ciao Dreams79 
Procederei come segue: conoscendo la lunghezza dei due archi e del raggio della cerchio possiamo calcolare le misure degli angoli che gli archi sottendono al centro.
Occhio che il testo dice "gli archi 
misurano rispettivamente 
e 
" e non "gli archi sottendono angoli al centro di e ".
La formula che ci serve è quella che lega angolo al centro, misura del raggio e misura dell'arco
da cui
e quindi abbiamo 
e 
.
Fatto ciò puoi calcolare la misura delle corde corrispondenti agli archi con il teorema del coseno (teorema di Carnot), facendo riferimento ai triangoli 
e 
e ricavarne le misure di estraendo le radici quadrate.
Per il perimetro del quadrilatero non credo ci saranno problemi a questo punto
mentre per l'area hai due modi per procedere:
1) calcolare l'area del quadrilatero come somma delle aree dei due triangoli. Per calcolare le aree dei due triangoli viene in nostro soccorso la formula trigonometrica per l'area di un triangolo qualsiasi
e dunque
2) Utilizzare la formula di Brahmagupta (vedi le formule per quadrilateri)
dove 
indica il semiperimetro del quadrilatero.
Sottolineo il ragionamento che sta alla base dello svolgimento che ti ho proposto (non in risposta a questo tuo ultimo post, è che rileggendo la mia risposta mi sono accorto di non essermi soffermato a sufficienza su un punto importante).
Gli archi di circonferenza (i segmenti curvilinei) si possono tranquillamente misurare in gradi o radianti, pur essendo linee e non angoli.
Se il testo dice "archi di misura 
", con una grandezza in gradi o radianti, per determinare i corrispondenti angoli al centro devi applicare la formula che ho scritto all'inizio della mia risposta precedente e dividere tale misura per la misura del raggio (che è un numero puro in questo contesto, scevro di un'unità di misura).
Morale: nell'applicare il teorema della corda se scrivi
BC = 2r sen 60;
intendi che gli angoli al centro misurano rispettivamente 
, il che non è vero nel caso dell'esercizio considerato.
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In riferimento al tuo ultimo post, puoi applicare il teorema della corda. Lo svolgimento dell'esercizio, chiaramente, non è univoco 
Di niente, figurati!
Ciao a tutti
Provo a dare una mia interpretazione del problema ma è scandaloso come certi testi mettano a dura prova la comprensione e quindi la pazienza degli studenti.
Parto dalla formula della lunghezza di un arco:
la lunghezza di un arco di circonferenza si ottiene dividendo la lunghezza della circonferenza per 360° e moltiplicando il risultato ottenuto per l'ampiezza dell'arco espressa in gradi:
Ora determino l'ampiezza dell'angolo al centro corrispondente:
Dunque l'angolo al centro misura 90° ed il corrispondente angolo alla circonferenza misura 45°
Lo stesso per l'arco ampio 60° ottenendo l'angolo alla circonferenza ampio 30°
Applico ora il teorema della corda:
Risulta così che AB è il lato del quadrato inscritto e BC il lato dell'esagono regolare inscritto.
Poiché
puoi calcolare facilmente perimetro e area del quadrilatero ABCO
Il triangolo AOB è metà quadrato:
Il triangolo BOC è equilatero:
Sommiamo ed otteniamo:
Ciao*
In effetti nel mio svolgimento ho dato per scontato che l'interpretazione del testo fosse quella da me proposta, però la scelta è arbitraria: anche la soluzione proposta da Danni è assolutamente valida nel contesto del problema 
Il vero problema, qui, non è tanto portare a termine lo svolgimento del problema, quanto più attribuire un significato a quel "misurano".
Questo è un esercizio per casa, dunque il problema si pone fino ad un certo punto Dreams79...Se dovesse capitarti un esercizio del genere in una verifica l'unica cosa da fare è far notare al professore che il testo è ambiguo, nel qual caso lo stesso docente non potrebbe fare a meno di fornire ulteriori informazioni in merito
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