Volume e diagonale di un parallelepipedo rettangolo con dimensioni proporzionali

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Volume e diagonale di un parallelepipedo rettangolo con dimensioni proporzionali #18526

avt
Maxpower
Banned
Ciao a tutti, ho problemi con la risoluzione di un esercizio che chiede di calcolare il volume e la misura della diagonale di un parallelepipedo che ha le dimensioni proporzionali a dei dati numeri. Eccolo:

un parallelepipedo rettangolo ha la superficie totale 768 cm quadri e le dimensioni proporzionali ai numeri 3,4 e 12. Calcolare la superficie totale, il volume e diagonale del parallelepipedo rettangolo.
 
 

Volume e diagonale di un parallelepipedo rettangolo con dimensioni proporzionali #18544

avt
Omega
Amministratore
Ciao MassimaPotenza emt

L'area della superficie totale di un parallelepipedo rettangolo si calcola con la formula

S_{tot}=2(ab+ah+bh)

(a proposito: qui trovi tutte le formule per il parallelepipedo rettangolo) dove a,b sono le misure delle dimensioni di base, mentre h è la misura dell'altezza del parallelepipedo.

Sappiamo che

2(ab+ah+bh)=768cm^2

Diciamo che a,b,h sono rispettivamente proporzionali a 3,4,12 (la scelta non è un problema - si può sempre ribaltare il parallelepipedo emt ) per cui detta cost la comune costante di proporzionalità diretta

a=3cost

b=4cost

h=12cost

Sostituiamo il tutto nell'uguaglianza precedente

2(12cost^2+36cost^2+48cost^2)=768cm^2

Abbiamo un'equazione in cost, risolviamola

96cost^2=384\to cost^2=4\to cost=2

(la soluzione negativa cost=-2 è da scartare per ovvie ragioni. Quali? emt )

A questo punto possiamo ricavare facilmente le misure delle tre dimensioni

a=6

b=8

h=24

e da qui calcolare volume

V=S_{base}\times h=abh

e diagonale, applicando due volte il teorema di Pitagora. emt Prima si calcola la diagonale di base

d=\sqrt{a^2+b^2}

poi la diagonale del parallelepipedo

D=\sqrt{d^2+h^2}=\sqrt{a^2+b^2+h^2}

L'area della superficie totale è fornita dal testo, perché ce la chiede? emt

A te l'utilizzo della calcolatrice emt
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Volume e diagonale di un parallelepipedo rettangolo con dimensioni proporzionali #18547

avt
Ispirato
Visitatore
Ciao emt

Dato che le dimensioni sono proporzionali a 3, 4 e 12, le possiamo indicare con 3x, 4x e 12x, purché x > 0.

Deve allora essere:

superficie totale = 2(3x*4x + 3x*12x + 4x*12x) = 768 cm², cioè:

2(12x² + 36x² + 48x²) = 768 cm²

192x² = 768 cm², da cui:

x² = 768/192 cm²

x² = 4 cm²

x = 2 cm.

Le dimensioni sono dunque: 6 cm, 8 cm, 24 cm.

Volume = 6*8*24 cm³ = 1152 cm³

diagonale = √(6²+8²+24²) cm = 26 cm.

Ciao emt
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Os