Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide

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Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #17828

avt
ely
Cerchio
Avrei un altro problemino con una piramide regolare quadrangolare e un tronco di piramide.
In una piramide quadrangolare regolare la superficie laterale è equivalente ai 2/3 di quella totale e la diagonale di base è 2\sqrt{2}\ cm. Determina l'area della sezione ottenuta tagliando la piramide con un piano parallelo alla base, che divide l'altezza in due parti tali che quella contenente il vertice è 2/3 dell'altra.

Il risultato del libro è: 16/25 cm^2.
Grazie! emt
 
 

Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #17891

avt
Omega
Amministratore
Ri-ciao Ely emt

Qui valgono considerazioni del tutto analoghe a quanto visto qui: problema con tronco di piramide e incognita.

L'area della superficie laterale della piramide è 2/3 dell'area della superficie totale

S_{lat}=\frac{2}{3}S_{tot}

L'area della superficie totale di una piramide si calcola come

S_{tot}=S_{lat}+S_{base}

La piramide è regolare quadrangolare, quindi la base è un quadrato

S_{tot}=\frac{2p_{base}\cdot a}{2}+l^2

S_{tot}=2la+l^2

dove a indica l'apotema della piramide, e si può calcolare con il teorema di Pitagora

a=\sqrt{h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}

quindi

S_{tot}=2l\sqrt{h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2}+l^2

Conosciamo la diagonale del quadrato di base, e conosciamo la relazione che la lega alla misura del lato del quadrato

d=\sqrt{2}l\to l=\frac{1}{\sqrt{2}}d

per cui

S_{tot}=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)\sqrt{h^2+\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}d}{2}\right)^2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)^2

Sfruttiamo la relazione che lega le aree della superficie laterale e totale

\frac{3}{2}S_{lat}=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)\sqrt{h^2+\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}d}{2}\right)^2}+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)^2

dove abbiamo già visto come esprimere l'area della superficie laterale in termini della sola diagonale di base

\left[\frac{3}{2}-1\right]2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)\sqrt{h^2+\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}d}{2}\right)^2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}d\right)^2

Da questa equazione puoi ricavare la misura di h.

Per il resto, chiama h_t l'altezza del tronco di piramide, h_{V} l'altezza che va dalla sezione al vertice: sai che

h_l+h_V=h

e che

h_{V}=\frac{2}{3}h_{l}

Con queste due equazioni ricavi h_V,h_l, dopodiché hai tutto quello che ti serve per determinare il lato della sezione quadrata. Per determinarla, prendi spunto dal procedimento dell'esercizio del link emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, ely

Re: Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #18015

avt
ely
Cerchio
una domanda ma se h1=3/2hv anche l'apotema1 è 3/2 dell'apotema dell'intera piramide???

Re: Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #18055

avt
Omega
Amministratore
una domanda ma se h1=3/2hv anche l'apotema1 è 3/2 dell'apotema dell'intera piramide???


Direi di sì: dato che apotema e altezza sono tagliati da piani paralleli, la proporzionalità tra le parti si preserva.
Ringraziano: Pi Greco

Re: Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #18059

avt
ely
Cerchio
grazie!!emt scusami per la noia che sono! :( ma la prox settimana ho il compito su queste cose....e sarebbe l'ultimo compito!!!!emt

Re: Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #18077

avt
ely
Cerchio
ma il lato della sezione quadrata va bene se la faccio con la proporzione B:b=H:h
con B=base della piramide iniziale e b=base della piramide ottenuta...idem per le h...va ok?

Re: Esercizio con piramide regolare a base quadrata, sezione parallela alla base e tronco di piramide #18088

avt
Omega
Amministratore
Direi di no: naturalmente sussiste una proporzionalità tra il lato della base della piramide ed il lato della sezione, ma non si determina in quel modo. emt
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Os