Problema sulle circonferenze tangenti

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Problema sulle circonferenze tangenti #16961

avt
tappo
Punto
Ho per casa un problema con discussione sulle circonferenze tangenti, di cui devo appunto fare la discussione.

Considera una circonferenza C1 di diametro AB=8a e una circonferenza C2 di centro O e raggio r tangente internamente in A alla circonferenza C1. Dal punto B conduci uno dei due segmenti di tangenza BM alla circonferenza C2.

a) Posto a=1 , trova per quale valore di r si ha: BM=(OA+2)\sqrt{2}

b) Constatato che r=2, traccia una retta s perpendicolare ad AB che interseca le due circonferenze C1 e C2 formando le corde CD ed EF.
Rappresenta graficamente la funzione y=\sqrt{CD^2+EF^2} al variare della posizione della retta s. (Poni la distanza di A dalla retta s uguale a x).

c) Trova il massimo della funzione.
 
 

Problema sulle circonferenze tangenti #16966

avt
Danni
Sfera
Ciao Tappo emt ora è chiarissimo.


a) Su un disegno chiaro e preciso applichiamo il teorema della secante e della tangente dopo aver detto N l'ulteriore punto di intersezione del diametro AB di C1 con la circonferenza C2

AB : BM = BM : NB

BM² = AB*NB = 8(8 - 2r) = 16(4 - r)

BM = 4√(4 - r)con 0 < r ≤ 4

Impostiamo la risolvente:

4√(4 - r) = (r + 2)√2

Eleviamo al quadrato:

16(4 - r) = 2(r + 2)²

Semplifichiamo dividendo i due membri per 2

8(4 - r)= r² + 4r + 4

r² + 12r - 28 = 0

(r + 14)(r - 2) = 0

A noi interessa la soluzione positiva, quindi è r = 2


b) Indichiamo con H l'intersezione delle corde CD, EF con il diametro AB

Imponiamo AH = x

0 ≤ x ≤ 4

perché la distanza massima di s da A è il diametro di C2

Nel triangolo rettangolo ACB per il secondo teorema di Euclide è

CH = √(AH*HB) = √[x(8 - x)]

CD = 2CH = 2√[x(8 - x)]

CD² = 4(8x - x²)

Nel triangolo rettangolo AEQ (Q = centro di C1) per lo stesso teorema è

EH = √(AH*HQ)= √[x(4 - x)]

EF = 2EH = 2√(4x - x²)

EF² = 4(4x - x²)

f(x) = √[4(8x - x²) + 4(4x - x²)]

f(x) = 2√(8x - x² + 4x - x²)

f(x) = 2√(12x - 2x²) = 2√2*√(6x - x²)

Con f(x) = y è

y = 2√(12x - 2x²)

y² = 4(12x - 2x²)

y² = 48x - 8x²

8x² + y² - 48x = 0 con 0 ≤ x ≤ 4.

L'equazione rappresenta analiticamente un'ellisse

Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

che ha centro P(α;β)

α = -C/2A = 48/16 = 3

β = - D/2B = 0

P(3;0)

Operando una traslazione secondo la trasformata

{x = X + α = X + 3
{y = Y + β = Y

otteniamo

8(X + 3)² + Y² - 48(X + 3) = 0

8X² + 48X + 72 + Y² - 48X - 144 = 0

8X² + Y² = 72

ovvero

X²/9 + Y²/72 = 1

con le nuove limitazioni

0 ≤ X + 3 ≤ 4

ovvero

- 3 ≤ X ≤ 1


c) Studiamo quindi

Y = √(72 - 8X²)

ovvero

Y = 2√(18 - 2X²)

Y = 2√2 * √(9 - X²)

Y' = 2√2 * (-2X)/[2√(9 - X²)]> 0

- X > 0

X < 0

Tornando a x = X + 3, è X = x - 3 quindi

x - 3 < 0
x < 3

0++++++++ 3 ----------
0 cresce ...... decresce

massimo per x = 3

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Problema sulle circonferenze tangenti #17013

avt
tappo
Punto
grazie mille,
esiste anche un modo più semplice senza usare (nel punto a) il teorema della secante e della tangente?
Ringraziano: Danni

Problema sulle circonferenze tangenti #17018

avt
Danni
Sfera
Ciao emt
Sicuro, esiste un altro modo ma non certo più semplice. Per ottenere la misura del segmento BM questa è la via più immediata emt
Altrimenti devi dimostrare la similitudine di due triangoli attraverso la congruenza degli angoli ricordando che un angolo può anche avere un lato secante ed uno tangente la circonferenza, impostare la proporzione tra i lati omologhi dei due triangoli scegliendo quelli giusti e alla fine ti ritrovi pari pari l'enunciato del teorema emt
Conviene applicarlo subito e non ci si pensa più.

No, aspetta... non dirmi che non ricordi il teorema della secante e della tangente emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Problema sulle circonferenze tangenti #17019

avt
tappo
Punto
il probema è che io il teorema della secqante e della tangente non l'ho ancora trattato e quindi non lo conosco
Ringraziano: Danni

Problema sulle circonferenze tangenti #17024

avt
Danni
Sfera
Capisco e stupisco emt Posso chiederti che classe frequenti? Un problema del genere non mi pare di seconda superiore.

Considera i triangoli AMB e NMB che hanno

MA^N = NM^B perché insistono sullo stesso arco MN
AB^M in comune
di conseguenza è anche AM^B = MN^B

I due triangoli sono simili per avere gli angoli ordinatamente congruenti e i lati omologhi sono quindi in proporzione. Risulta:

AB (opposto a AM^B):BM (opposto a MN^B) = BM (opposto a MA^B):NB (opposto a NM^B)

AB : BM = BM : NB

BM² = AB*NB

Tutto chiaro? Se hai dubbi sono a disposizione, ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Problema sulle circonferenze tangenti #17041

avt
tappo
Punto
grazie mille comunque io sono di terza
Ringraziano: Danni
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Os