Problema sui criteri di congruenza dei triangoli

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Problema sui criteri di congruenza dei triangoli #15692

avt
mela83
Punto
Salve a tutti, come dovrei fare questa dimostrazione su triangolo e bisettrice con i criteri di congruenza? Disegna un triangolo ABC e prolunga il AC di un segmento CE congruente a CB. Costruisci la bisettrice dell'angolo BC^E, poi traccia la semiretta, passante per il punto M di AB, che forma con AB due angoli retti. Tale semiretta incontra la bisettrice (o il suo prolungamento) nel punto F. Dimostra che:
a) i triangoli BFM e AFM sono congruenti
b) i triangoli CEF e BCF sono congruenti
c) il triangolo AEF è isoscele.

Grazie!
 
 

Re: Problema sui criteri di congruenza dei triangoli #15708

avt
Omega
Amministratore
Ciao Mela83 emt

Dopo aver disegnato la figura, segui il ragionamento emt

Per vedere che i triangoli BFM,AFM sono congruenti, possiamo applicare il primo criterio di congruenza tra triangoli (due lati e l'angolo compreso ordinatamente congruenti) infatti

- MC è in comune;

- AM=MB perché M è il punto medio di AB;

- A\hat{M}F=B\hat{M}F=90^{0} perché la retta condotta per M è perpendicolare ad AB per costruzione.

Passiamo ai triangoli CEF,BCF. Gli angoli in \hat{C} individuati dalla bisettrice sono congruenti per costruzione: d'altra parte, se congiungiamo i vertici BE abbiamo che il triangolo BCE è un triangolo isoscele perché, per costruzione, BC=CE.

Stesso discorso per il triangolo BFE, infatti la bisettrice dell'angolo in C è anche bisettrice dell'angolo in F. Dunque BF=FE e dunque i triangoli

BCF,FCE

sono congruenti perché hanno i tre lati ordinatamente congruenti (uno dei tre lati, FC, è in comune). Basta applicare il terzo criterio di congruenza tra triangoli.

Infine, per dimostrare che il triangolo AEF...

Per quanto visto al punto 1) sappiamo che i lati AF=BF sono congruenti.

Per quanto visto al punto 2) BF=FE, perché sono congruenti i triangoli FBC,FCE.

In conclusione: AF=FE.

Ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco, mela83, CarFaby
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Os