Base di un prisma retto nel piano cartesiano

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Base di un prisma retto nel piano cartesiano #14461

avt
trilligiorgi
Cerchio
Mi servirebbe una mano per risolvere un esercizio di geometria analitica in cui mi viene chiesto di rappresentare un poligono nel piano cartesiano, di trattarlo come la base di un prisma retto e di calcolare l'area totale e il volume del prisma ottenuto.

Disegna il piano cartesiano fissando un lato del quadretto del foglio come unità di misura u.

Traccia il poligono ABCD i cui vertici hanno coordinate

A=(4,3),\ B=(-1,3),\ C=(-1,-2),\ D=(4,-2)

a) Considera il poligono ABCD come base di un prisma retto con altezza lunga 10 u. Ottieni un prisma regolare?

b) Calcola l'area totale e il volume dl prisma.

Potreste aiutarmi, per favore?
 
 

Base di un prisma retto nel piano cartesiano #14478

avt
Ifrit
Amministratore
Il primo passo per risolvere il problema consiste nel rappresentare il poligono di vertici

\\ A(x_{A},y_{A})=(4,3) \\ \\ B(x_{B},y_{B})=(-1,3)\\ \\ C(x_{C},y_{C})=(-1,-2) \\ \\ D(x_{D},y_{D})=(4,-2)

nel piano cartesiano. Otterremo qualcosa di questo tipo:

base prisma retto nel piano cartesiano


Punto A: prisma retto

Il primo punto del problema ci chiede di considerare il poligono ABCD come base di un prisma di altezza h=10\, u e di stabilire se tale prisma è regolare.

Ricordando che un prisma retto si dice regolare se la base è un poligono regolare, per rispondere al quesito basta provare che il poligono ABCD è un quadrato.

A tal proposito, calcoliamo la lunghezza dei lati AB,BC,CD,DA con la formula della distanza tra punti.

Siccome A\ \mbox{e}\ B condividono la stessa ordinata, la loro distanza è data dal valore assoluto della differenza delle loro ascisse

\overline{AB}=|x_{A}-x_{B}|=|4-(-1)|=5\ u

La lunghezza del segmento BC è invece data dal valore assoluto della differenza delle ordinate dei punti B\ \mbox{e} \ C, perché questi punti hanno la stessa ascissa

\overline{BC}=|y_{B}-y_{C}|=|3-(-2)|=5\ u

Allo stesso modo, poiché C\ \mbox{e} \ D hanno la stessa ordinata, la lunghezza del lato CD è

\overline{CD}=|x_{C}-x_{D}|=|-1-4|=5\ u

La lunghezza del segmento AD è infine

\overline{AD}=|y_{A}-y_{D}|=|3-(-2)|=5\ u

I lati del quadrilatero sono congruenti, pertanto ABCD è un quadrato (poligono regolare di 4 lati) e il prisma è regolare.


Punto B: area totale e volume del prisma

Per calcolare l'area totale del prisma abbiamo bisogno dell'area della sua superficie laterale (S_{lat}) e dell'area del poligono di base (S_{b}). Se conosciamo questi valori, l'area della superficie totale del prisma si calcola con la formula

S_{tot}=S_{lat}+2S_{b}

Calcoliamo l'area del poligono di base, vale a dire l'area del quadrato ABCD

S_{b}=\overline{AB}^2=(5\ u)^2=25 \ u^2

Per quanto riguarda l'area della superficie laterale del prisma, possiamo usare la formula

S_{lat}=2p_{b}\cdot h

dove 2p_{b} è il perimetro del poligono di base e h è la misura dell'altezza del prisma.

Nel caso in esame, dobbiamo semplicemente calcolare il perimetro del quadrato ABCD

2p_{b}=4\cdot\overline{AB}=4\cdot 5 \ u=20 \ u

e moltiplicarlo per la misura dell'altezza h=10 \ u

S_{lat}=2p_{b}\cdot h=20 \ u \cdot 10 \ u=200 \ u^2

Abbiamo tutti gli elementi per calcolare l'area della superficie totale

\\ S_{tot}=S_{lat}+2S_{b}=\\ \\ =200 \ u^2+2\cdot 25 \ u^2=250\ u^2

Per calcolare il volume del prisma basta usare la formula

V=S_{b}\cdot h=25\ u^2\cdot 10 \ u=250\ u^3

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os