Dimostrare che un parallelogramma con le altezze uguali è un rombo

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Dimostrare che un parallelogramma con le altezze uguali è un rombo #13044

avt
anna vicaretti
Cerchio
Questa dimostrazione su parallelogramma proprio non la capisco, in verità non capisco dove vanno le altezze.

Devo dimostrare che un parallelogramma che ha congruenti le due altezze relative alle coppie di lati opposti è un rombo...Grazie!
 
 

Dimostrare che un parallelogramma con le altezze uguali è un rombo #13072

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt

Per dimostrare la tesi, dobbiamo solo ricordarci la formula per il calcolo dell'area di un parallelogramma

Area=base\cdot altezza

Se consideriamo un lato del parallelogramma come base, diciamo b, e h_1 l'altezza ad esso relativo, allora abbiamo che

A=b\cdot h_1

Se consideriamo l'altro lato del parallelogramma come base, chiamiamolo l, e h_2 l'altezza ad esso relativa, allora possiamo scrivere

A=l\cdot h_2

Nella nostra ipotesi le due altezze coincidono, quindi dato che l'area è sempre la stessa

b\cdot h_1=l\cdot h_2

semplificando h_1=h_2

b=l

quindi il nostro parallelogramma ha tutti e quattro i lati uguali, ed è un rombo. emt
Ringraziano: Pi Greco

Re: Dimostrare che un parallelogramma con le altezze uguali è un rombo #15748

avt
Danni
Sfera
Ciao Anna, le altezza vanno perpendicolarmente alle rispettive basi.
Disegna un parallelogramma ABCD di base AB.
L'altezza relativa al lato AB è il segmento CH perpendicolare ad AB
Prolunga il lato DA e porta la perpendicolare BK alla retta DA
BK è l'altezza relativa al lato DA

Ipotesi:
ABCD parallelogramma
CH ⊥ AB
BK ⊥ DA
CH ≡ BK

Tesi:
ABCD rombo

Dimostrazione:
CD^A ≡ CB^H (angoli opposti del parallelogramma)
CD^A ≡ BA^K (angoli corrispondenti delle parallele DC, AB tagliate dalla trasversale DK
Per transitività risulta
CB^H ≡ BA^K

I triangoli rettangoli CHB, BKA hanno
CH ≡ BK per ipotesi
CB^H ≡ BA^K come appena dimostrato
e sono quindi congruenti avendo un cateto e l'angolo acuto opposto ordinatamente congruenti.
Risulta allora
BC = AB
Di conseguenza, nel parallelogramma è
BC = AD = AB = DC
ed è dimostrato che ABCD è un rombo.

ciao*
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os