Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete

Mi aiutate ancora con un paio di dimostrazioni sui triangoli? Il testo suggerisce di usare opportunamente i criteri di congruenza e il teorema di Talete, se necessario.

1) Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è metà dell'ipotenusa BC. Sull'ipotenusa, esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA finché si incontrano in F. Dimostra che ABEC è un trapezio e che A è il punto medio di FB.

2) Disegna un triangolo ABC e traccia la mediana BP. Sia M il suo punto medio. Dimostra che la retta AM divide il lato BC in due parti di cui una è la metà dell'altra.

Grazie.

Ri-ciao Anna

Cominciamo con il primo: dalle relazioni tra i cateti e l'ipotenusa in triangoli rettangoli, sappiamo che se se in un triangolo rettangolo un cateto è esattamente metà dell'ipotenusa



allora l'angolo che si oppone a tale cateto misura . D'altra parte il triangolo è un triangolo equilatero per costruzione, e dunque i sui angoli interni misurano ciascuno.

Ne deduciamo che



inoltre per costruzione (il triangolo è rettangolo in ) per cui il quadrilatero è un trapezio rettangolo.

Avendo mostrato che le basi sono parallele, il teorema di Talete garantisce che i due segmenti vengono divisi in parti proporzionali dai segmenti paralleli .

In realtà non serve nemmeno scomodare Talete infatti se consideriamo il triangolo , esso è rettangolo in e ha l'angolo in pari a , per cui l'angolo , complementare ad esso, misura e dunque nel triangolo , rettangolo in , risulta



da cui .

In arrivo il secondo

Nel caso del secondo problema, Talete ci serivrà eccome...

Dopo aver disegnato la figura, traccia la parallela al segmento uscente da : chiamiamo il suo punto di incontro con il lato , mentre chiamiamo il punto di incontro del prolungamento del segmento con il lato .

Applichiamo il teorema di Talete ai segmenti con i segmenti paralleli . Se ne deduce che



ma per costruzione, quindi necessariamente .

Ragionando in maniera del tutto analoga con la coppia di segmenti e con la coppia di segmenti paralleli



essendo per costruzione, ne ricaviamo .

In definitiva abbiamo che e quindi .

Abbiamo finito

eternamente riconoscente.
Sai cosa scopro? Che quando li capisco sono eccezionali, come reisolvere un rompicapo. Grazie

E' proprio quella l'ottica giusta (e furba ) in cui vedere questo tipo di esercizi