Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete #12883

avt
anna vicaretti
Cerchio
Mi aiutate ancora con un paio di dimostrazioni sui triangoli? Il testo suggerisce di usare opportunamente i criteri di congruenza e il teorema di Talete, se necessario.

1) Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è metà dell'ipotenusa BC. Sull'ipotenusa, esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA finché si incontrano in F. Dimostra che ABEC è un trapezio e che A è il punto medio di FB.

2) Disegna un triangolo ABC e traccia la mediana BP. Sia M il suo punto medio. Dimostra che la retta AM divide il lato BC in due parti di cui una è la metà dell'altra.

Grazie.
 
 

Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete #12956

avt
Omega
Amministratore
Ri-ciao Anna emt

Cominciamo con il primo: dalle relazioni tra i cateti e l'ipotenusa in triangoli rettangoli, sappiamo che se se in un triangolo rettangolo un cateto è esattamente metà dell'ipotenusa

AC=\frac{1}{2}CB

allora l'angolo che si oppone a tale cateto misura 30^{o}. D'altra parte il triangolo CEB è un triangolo equilatero per costruzione, e dunque i sui angoli interni misurano 60^{o} ciascuno.

Ne deduciamo che

ABE=ABC+CBE=30^{o}+60^{o}=90^{o}

inoltre CAB=90^{o} per costruzione (il triangolo ABC è rettangolo in A) per cui il quadrilatero ACEB è un trapezio rettangolo.

Avendo mostrato che le basi AC// BE sono parallele, il teorema di Talete garantisce che i due segmenti FE,FB vengono divisi in parti proporzionali dai segmenti paralleli AC,BE.

In realtà non serve nemmeno scomodare Talete emt infatti se consideriamo il triangolo FEB, esso è rettangolo in B e ha l'angolo in E pari a 60^{o}, per cui l'angolo EFB, complementare ad esso, misura 30^{o} e dunque nel triangolo FAC, rettangolo in A, risulta

AC=\frac{1}{2}FC

da cui FC=CB.

In arrivo il secondo emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete #12957

avt
Omega
Amministratore
Nel caso del secondo problema, Talete ci serivrà eccome...emt

Dopo aver disegnato la figura, traccia la parallela al segmento AM uscente da P: chiamiamo Q il suo punto di incontro con il lato BC, mentre chiamiamo R il punto di incontro del prolungamento del segmento AM con il lato BC.

Applichiamo il teorema di Talete ai segmenti BC,AC con i segmenti paralleli AR,PQ. Se ne deduce che

RQ:QC=AP:PC

ma AP=PC per costruzione, quindi necessariamente RQ=QC.

Ragionando in maniera del tutto analoga con la coppia di segmenti BC,BP e con la coppia di segmenti paralleli RM,QP

BR:RQ=BM:MP

essendo BM=MP per costruzione, ne ricaviamo BR=RQ.

In definitiva abbiamo che BR=RQ=RC e quindi RC=2BR.

Abbiamo finito emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, anna vicaretti

Re: Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete #13000

avt
anna vicaretti
Cerchio
eternamente riconoscente.
Sai cosa scopro? Che quando li capisco sono eccezionali, come reisolvere un rompicapo. Grazie
Ringraziano: Omega

Re: Problemi con dimostrazioni sui triangoli: angoli, criteri di congruenza, Talete #13001

avt
Omega
Amministratore
E' proprio quella l'ottica giusta (e furba emt ) in cui vedere questo tipo di esercizi emt
Ringraziano: Ifrit
  • Pagina:
  • 1
Os