Dimostrazioni con rette parallele tagliate da una trasversale e trapezi

Aiuto ragazzi! Ho due dimostrazioni sugli angoli corrispondente e sulle rette parallele tagliate da una trasversale, in un trapezio. Mi direste cortesemente come risolverlo, per favore?

1) Nel trapezio ABCD indica con E e F i punti medi dei lati obliqui. Dimostra che EF dimezza anche le diagonali del trapezio.

2) Disegna un trapezio ABCD e le sue diagonali AC e BD, indica rispettivamente con M e N i punti medi delle diagonali. Dimostra che il segmento MN è congruente alla semidifferenza delle basi.

Grazie!

Ciao Anna

Disegna la figura, e segui il ragionamento, ok?

Dimostriamo che la diagonale viene divisa in due parti uguali dal punto , che è il punto di intersezione della diagonale stessa con il segmento .

Consideriamo i due triangoli , e proviamo che sono simili e che i loro lati corrispettivi stanno in rapporto pari a 2.

Il segmento è parallelo alle basi, poiché appartiene al segmento che è a sua volta parallelo alle basi del trapezio: questo lo si vede applicando il teorema di Talete.

Dopo aver osservato ciò notiamo che

- gli angoli sono congruenti poiché corrispondenti;

- gli angoli sono congruenti poiché corrispondenti;

- gli angoli sono congruenti poiché sovrapposti.

Dunque i triangoli sono simili per il primo criterio di similitudine. Dato che per costruzione, avremo per similitudine che .

Con la diagonale si ragiona in modo del tutto analogo.

Il primo è andato; il secondo arriva

...eccolo

Per risolvere il secondo problema, i ragionamenti visti nel primo tornano molto utili: dopo aver disegnato la figura (praticamente come prima) e dopo aver chiamato i punti medi delle diagonali, prolunghiamo il segmento fino a raggiungere il lato in un punto che chiamiamo (madddai! ) e dall'altra fino a raggiungere il lato in un punto che chiamiamo... ( ).

Consideriamo i triangoli . Come prima si può vedere che il segmento è parallelo alle basi, e come prima si dimostra che i due triangoli sono simili, Essendo si trova che

Ragionando in modo del tutto analogo nel caso della coppia di triangoli si vede che

quindi, se scriviamo

ecco fatto