Dimostrazioni con rette parallele tagliate da una trasversale e trapezi

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Dimostrazioni con rette parallele tagliate da una trasversale e trapezi #12832

avt
anna vicaretti
Cerchio
Aiuto ragazzi! Ho due dimostrazioni sugli angoli corrispondente e sulle rette parallele tagliate da una trasversale, in un trapezio. Mi direste cortesemente come risolverlo, per favore?

1) Nel trapezio ABCD indica con E e F i punti medi dei lati obliqui. Dimostra che EF dimezza anche le diagonali del trapezio.

2) Disegna un trapezio ABCD e le sue diagonali AC e BD, indica rispettivamente con M e N i punti medi delle diagonali. Dimostra che il segmento MN è congruente alla semidifferenza delle basi.

Grazie!
 
 

Dimostrazioni con rette parallele tagliate da una trasversale e trapezi #12846

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt

Disegna la figura, e segui il ragionamento, ok? emt

Dimostriamo che la diagonale AC viene divisa in due parti uguali dal punto M, che è il punto di intersezione della diagonale stessa con il segmento EF.

Consideriamo i due triangoli ADC,AEM, e proviamo che sono simili e che i loro lati corrispettivi stanno in rapporto pari a 2.

Il segmento EM // DC è parallelo alle basi, poiché appartiene al segmento EF che è a sua volta parallelo alle basi del trapezio: questo lo si vede applicando il teorema di Talete.

Dopo aver osservato ciò notiamo che

- gli angoli AEM,ADC sono congruenti poiché corrispondenti;

- gli angoli AME,ACD sono congruenti poiché corrispondenti;

- gli angoli EAM,DAC sono congruenti poiché sovrapposti.

Dunque i triangoli AEM,ADC sono simili per il primo criterio di similitudine. Dato che AD=2AE per costruzione, avremo per similitudine che AC=2AM.

Con la diagonale BD si ragiona in modo del tutto analogo.

Il primo è andato; il secondo arriva emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, anna vicaretti

Dimostrazioni con rette parallele tagliate da una trasversale e trapezi #12848

avt
Omega
Amministratore
...eccolo emt

Per risolvere il secondo problema, i ragionamenti visti nel primo tornano molto utili: dopo aver disegnato la figura (praticamente come prima) e dopo aver chiamato M,N i punti medi delle diagonali, prolunghiamo il segmento MN fino a raggiungere il lato AD in un punto che chiamiamo E (madddai! emt ) e dall'altra fino a raggiungere il lato BC in un punto che chiamiamo...F (emt ).

Consideriamo i triangoli AEM,ADC. Come prima si può vedere che il segmento EF è parallelo alle basi, e come prima si dimostra che i due triangoli sono simili, Essendo AM=MC si trova che

DC=2EM

Ragionando in modo del tutto analogo nel caso della coppia di triangoli ADB,EDN si vede che

AB=2EN

quindi, se scriviamo

\frac{AB-CD}{2}=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}CD=EN-EM=MN

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco, anna vicaretti
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Os