Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado?

Mi potreste spiegare come procedere con questo problema sulla similitudine e sulle equazioni, per favore? Non riesco a capire come sfruttare le informazioni del problema per costruire la risolvente.

Un triangolo equilatero ha area . A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendere tre segmenti congruenti . Congiungendo con , con , con si ottiene un nuovo triangolo equilatero, di area .

Determina le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero .

[Il risultato deve venire . Bisogna usare la similitudine e impostare un'equazione di primo o secondo grado in una sola variabile].

Grazie di cuore.

Il nostro compito consiste nel risolvere il problema con le equazioni e, come c'è da aspettarsi, bisogna avvalersi delle formule che riguardano i triangoli equilateri.

Per prima cosa, cerchiamo di capire com'è fatta la figura e stiamo particolarmente attenti al testo perché può essere facilmente mal interpretato.

Consideriamo un triangolo equilatero e indichiamo i suoi vertici con . Il testo afferma che l'area di tale triangolo è



Sul lato consideriamo il punto , sul lato prenderemo in considerazione il punto e sul lato il punto .

I punti sono tali da individuare i vertici di un triangolo equilatero la cui area è:



Detto ciò, possiamo iniziare a risolvere il problema. Per prima cosa sfruttiamo le formule inverse del triangolo equilatero così da ricavare il lato dall'area



Ora consideriamo i triangoli che sono congruenti tra loro. Per vederlo si può ragionare per simmetria, o semplicemente applicando il terzo criterio di congruenza tra triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti).

Chiamiamo la misura del segmento ,



L'area di uno dei tre triangoli (indifferente quale nello specifico, essendo essi equivalenti) si può calcolare come



Ora possiamo procedere in due modi: o applicando la formula di Erone oppure avvalendosi delle formule relative al triangolo rettangolo 30-60.

L'uso della formula di Erone però ci conduce a un'equazione risolvente davvero molto complicata, ecco perché eviteremo di usarlo. È più furbo invece considerare l'altezza relativa al lato del triangolo di vertici e prendere in considerazione il triangolo rettangolo di vertici .

Esso è un triangolo particolare del tipo . Grazie alle formule che lo riguardano siamo in grado di ricavare l'altezza mediante la relazione



e poiché è congruente a , scriviamo:



Ora che conosciamo l'espressione di in termini di , siamo capaci di impostare l'equazione risolvente



da cui



Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni



moltiplichiamo per 4 e dividiamo per i due membri



da cui



Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa con coefficienti



Poiché il coefficiente di è un numero pari, determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la formula ridotta.

Calcoliamo dunque il delta quarti con la relazione



e osserviamo che dalla sua positività segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la formula



Se consideriamo la prima soluzione, vale a dire se , i due segmenti in cui viene diviso il lato sono



Se consideriamo la seconda soluzione, ossia se allora i due segmenti valgono



Abbiamo finito.