Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado?

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Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12830

TheClimb96
Punto

Mi potreste spiegare come procedere con questo problema sulla similitudine e sulle equazioni, per favore? Non riesco a capire come sfruttare le informazioni del problema per costruire la risolvente.

Un triangolo equilatero

ha area $2304\sqrt{3}\mbox{ m}^2$ . A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendere tre segmenti congruenti $AD,\ BE\ \mbox{e} \ CF$ . Congiungendo

con

si ottiene un nuovo triangolo equilatero, di area $1008\sqrt{3}\mbox{ m}^2$ .

Determina le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero

.

[Il risultato deve venire $24\mbox{ m} \ \mbox{e} \ 72\mbox{ m}$ . Bisogna usare la similitudine e impostare un'equazione di primo o secondo grado in una sola variabile].

Grazie di cuore.

Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12855

Omega
Amministratore

Il nostro compito consiste nel risolvere il problema con le equazioni e, come c'è da aspettarsi, bisogna avvalersi delle formule che riguardano i triangoli equilateri.

Per prima cosa, cerchiamo di capire com'è fatta la figura e stiamo particolarmente attenti al testo perché può essere facilmente mal interpretato.

Consideriamo un triangolo equilatero e indichiamo i suoi vertici con $A,\ B\ \mbox{e} \ C$ . Il testo afferma che l'area di tale triangolo è

$\mbox{Area}(ABC)=2304\sqrt{3}\mbox{ m}^2$

Sul lato

consideriamo il punto

, sul lato

prenderemo in considerazione il punto

e sul lato

il punto

.

I punti $D,\ E\ \mbox{e} \ F$ sono tali da individuare i vertici di un triangolo equilatero la cui area è:

$\mbox{Area}(DEF)=1008\sqrt{3}\mbox{ m}^2$

Detto ciò, possiamo iniziare a risolvere il problema. Per prima cosa sfruttiamo le formule inverse del triangolo equilatero così da ricavare il lato

dall'area

$\\ AB=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}\mbox{Area}(ABC)}=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot 2304\sqrt{3}}= \\ \\ \\ =\sqrt{9216}=96 \mbox{ m}$

Ora consideriamo i triangoli $ADF,\ EFC, \ DBE$ che sono congruenti tra loro. Per vederlo si può ragionare per simmetria, o semplicemente applicando il terzo criterio di congruenza tra triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti).

Chiamiamo

la misura del segmento

L'area di uno dei tre triangoli

(indifferente quale nello specifico, essendo essi equivalenti) si può calcolare come

$\\ \mbox{Area}(DBE)=\frac{\mbox{Area}(ABC)-\mbox{Area}(DEF)}{3}= \\ \\ \\ =\frac{(2304-1008)\sqrt{3}}{3}=432\sqrt{3}$

Ora possiamo procedere in due modi: o applicando la formula di Erone oppure avvalendosi delle formule relative al triangolo rettangolo 30-60.

L'uso della formula di Erone però ci conduce a un'equazione risolvente davvero molto complicata, ecco perché eviteremo di usarlo. È più furbo invece considerare l'altezza

relativa al lato

del triangolo di vertici

e prendere in considerazione il triangolo rettangolo di vertici

.

Esso è un triangolo particolare del tipo $30^{\circ}-60^{\circ}$ . Grazie alle formule che lo riguardano siamo in grado di ricavare l'altezza

mediante la relazione

$EH=EB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=$

e poiché

è congruente a

, scriviamo:

$=\frac{\sqrt{3}}{2}x$

Ora che conosciamo l'espressione di

in termini di

, siamo capaci di impostare l'equazione risolvente

$\\ \mbox{Area}(DEB)=432\sqrt{3} \ \ \ \to \ \ \ \frac{DB\cdot EH}{2}=432\sqrt{3}$

da cui

$\frac{(96-x)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}x}{2}=432\sqrt{3}$

Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

$\frac{(96-x)\cdot\sqrt{3} x}{4}=432\sqrt{3}$

moltiplichiamo per 4 e dividiamo per $\sqrt{3}$ i due membri

$(96-x)x=4\cdot 432\ \ \ \to \ \ \ (96-x)x=1728$

da cui

$96x-x^2=1728 \ \ \ \to \ \ \ x^2-96x+1728=0$

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa con coefficienti

$a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-96 \ \ \ ; \ \ \ c=1728$

Poiché il coefficiente di

è un numero pari, determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la formula ridotta.

Calcoliamo dunque il delta quarti con la relazione

$\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{96}{2}\right)^2-1\cdot 1728=2304-1728=576$

e osserviamo che dalla sua positività segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la formula

$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-\frac{-96}{2}\pm 24=\begin{cases}48-24=24= x_1 \\ \\ 48+24=72=x_2\end{cases}$

Se consideriamo la prima soluzione, vale a dire se

, i due segmenti in cui viene diviso il lato

sono

$\\ AD=x=24\mbox{ m}\\ \\ DB=96-x=96-24=72 \mbox{ m}$

Se consideriamo la seconda soluzione, ossia se

allora i due segmenti valgono

$\\ AD=x=72\mbox{ m}\\ \\ DB=96-x=96-72=24 \mbox{ m}$

Abbiamo finito.

Ringraziano: Pi Greco

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