Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado?

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Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12830

  • TheClimb96
  • avt
  • Punto
Mi potreste spiegare come procedere con questo problema sulla similitudine e sulle equazioni, per favore? Non riesco a capire come sfruttare le informazioni del problema per costruire la risolvente.

Un triangolo equilatero ABC ha area 2304\sqrt{3}\mbox{ m}^2. A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendere tre segmenti congruenti AD,\ BE\ \mbox{e} \ CF. Congiungendo D con E, E con F, F con D si ottiene un nuovo triangolo equilatero, di area 1008\sqrt{3}\mbox{ m}^2.

Determina le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero ABC.

[Il risultato deve venire 24\mbox{ m} \ \mbox{e} \ 72\mbox{ m}. Bisogna usare la similitudine e impostare un'equazione di primo o secondo grado in una sola variabile].

Grazie di cuore.

 
 
 

Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12855

  • Omega
  • avt
  • Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere il problema con le equazioni e, come c'è da aspettarsi, bisogna avvalersi delle formule che riguardano i triangoli equilateri.

Per prima cosa, cerchiamo di capire com'è fatta la figura e stiamo particolarmente attenti al testo perché può essere facilmente mal interpretato.

Consideriamo un triangolo equilatero e indichiamo i suoi vertici con A,\ B\ \mbox{e} \ C. Il testo afferma che l'area di tale triangolo è

\mbox{Area}(ABC)=2304\sqrt{3}\mbox{ m}^2

Sul lato AB consideriamo il punto D, sul lato BC prenderemo in considerazione il punto E e sul lato AC il punto F.

I punti D,\ E\ \mbox{e} \ F sono tali da individuare i vertici di un triangolo equilatero la cui area è:

\mbox{Area}(DEF)=1008\sqrt{3}\mbox{ m}^2

Detto ciò, possiamo iniziare a risolvere il problema. Per prima cosa sfruttiamo le formule inverse del triangolo equilatero così da ricavare il lato AB dall'area

\\ AB=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}\mbox{Area}(ABC)}=\sqrt{\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot 2304\sqrt{3}}= \\ \\ \\ =\sqrt{9216}=96 \mbox{ m}

Ora consideriamo i triangoli ADF,\ EFC, \ DBE che sono congruenti tra loro. Per vederlo si può ragionare per simmetria, o semplicemente applicando il terzo criterio di congruenza tra triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti).

Chiamiamo x la misura del segmento AD=BE=CF,

DB=EC=FA=AB-AD=96-x

L'area di uno dei tre triangoli ADF,DBE,EFC (indifferente quale nello specifico, essendo essi equivalenti) si può calcolare come

\\ \mbox{Area}(DBE)=\frac{\mbox{Area}(ABC)-\mbox{Area}(DEF)}{3}= \\ \\ \\ =\frac{(2304-1008)\sqrt{3}}{3}=432\sqrt{3}

Ora possiamo procedere in due modi: o applicando la formula di Erone oppure avvalendosi delle formule relative al triangolo rettangolo 30-60.

L'uso della formula di Erone però ci conduce a un'equazione risolvente davvero molto complicata, ecco perché eviteremo di usarlo. È più furbo invece considerare l'altezza EH relativa al lato DB del triangolo di vertici EDB e prendere in considerazione il triangolo rettangolo di vertici EHB.

Esso è un triangolo particolare del tipo 30^{\circ}-60^{\circ}. Grazie alle formule che lo riguardano siamo in grado di ricavare l'altezza EH mediante la relazione

EH=EB\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=

e poiché EB è congruente a AD=x, scriviamo:

=\frac{\sqrt{3}}{2}x

Ora che conosciamo l'espressione di EH in termini di x, siamo capaci di impostare l'equazione risolvente

\\ \mbox{Area}(DEB)=432\sqrt{3} \ \ \ \to \ \ \ \frac{DB\cdot EH}{2}=432\sqrt{3}

da cui

\frac{(96-x)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}x}{2}=432\sqrt{3}

Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

\frac{(96-x)\cdot\sqrt{3} x}{4}=432\sqrt{3}

moltiplichiamo per 4 e dividiamo per \sqrt{3} i due membri

(96-x)x=4\cdot 432\ \ \ \to \ \ \ (96-x)x=1728

da cui

96x-x^2=1728 \ \ \ \to \ \ \ x^2-96x+1728=0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa con coefficienti

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-96 \ \ \ ; \ \ \ c=1728

Poiché il coefficiente di x è un numero pari, determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la formula ridotta.

Calcoliamo dunque il delta quarti con la relazione

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=\left(-\frac{96}{2}\right)^2-1\cdot 1728=2304-1728=576

e osserviamo che dalla sua positività segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la formula

x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=-\frac{-96}{2}\pm 24=\begin{cases}48-24=24= x_1 \\ \\ 48+24=72=x_2\end{cases}

Se consideriamo la prima soluzione, vale a dire se x=24, i due segmenti in cui viene diviso il lato AB sono

\\ AD=x=24\mbox{ m}\\ \\  DB=96-x=96-24=72 \mbox{ m}

Se consideriamo la seconda soluzione, ossia se x=72 allora i due segmenti valgono

\\ AD=x=72\mbox{ m}\\ \\  DB=96-x=96-72=24 \mbox{ m}

Abbiamo finito.

Ringraziano: Pi Greco
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Os