Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado?

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Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12830

avt
TheClimb96
Punto
Mi potreste spiegare come procedere con questo problema sulla similitudine e sulle equazioni, per favore? Non riesco a capire come sfruttare le informazioni del problema per costruire la risolvente.

Un triangolo equilatero ABC ha area 2304√(3) m^2. A partire da ogni vertice e sempre nello stesso senso prendere tre segmenti congruenti AD, BE e CF. Congiungendo D con E, E con F, F con D si ottiene un nuovo triangolo equilatero, di area 1008√(3) m^2.

Determina le lunghezze dei due segmenti in cui è diviso ogni lato del triangolo equilatero ABC.

[Il risultato deve venire 24 m e 72 m. Bisogna usare la similitudine e impostare un'equazione di primo o secondo grado in una sola variabile].

Grazie di cuore.
 
 

Problema algebra con applicazione similitudine e equazioni di primo o secondo grado? #12855

avt
Omega
Amministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere il problema con le equazioni e, come c'è da aspettarsi, bisogna avvalersi delle formule che riguardano i triangoli equilateri.

Per prima cosa, cerchiamo di capire com'è fatta la figura e stiamo particolarmente attenti al testo perché può essere facilmente mal interpretato.

Consideriamo un triangolo equilatero e indichiamo i suoi vertici con A, B e C. Il testo afferma che l'area di tale triangolo è

Area(ABC) = 2304√(3) m^2

Sul lato AB consideriamo il punto D, sul lato BC prenderemo in considerazione il punto E e sul lato AC il punto F.

I punti D, E e F sono tali da individuare i vertici di un triangolo equilatero la cui area è:

Area(DEF) = 1008√(3) m^2

Detto ciò, possiamo iniziare a risolvere il problema. Per prima cosa sfruttiamo le formule inverse del triangolo equilatero così da ricavare il lato AB dall'area

 AB = √((4)/(√(3))Area(ABC)) = √((4)/(√(3))·2304√(3)) = √(9216) = 96 m

Ora consideriamo i triangoli ADF, EFC, DBE che sono congruenti tra loro. Per vederlo si può ragionare per simmetria, o semplicemente applicando il terzo criterio di congruenza tra triangoli (due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti).

Chiamiamo x la misura del segmento AD = BE = CF,

DB = EC = FA = AB-AD = 96-x

L'area di uno dei tre triangoli ADF,DBE,EFC (indifferente quale nello specifico, essendo essi equivalenti) si può calcolare come

 Area(DBE) = (Area(ABC)-Area(DEF))/(3) = ((2304-1008)√(3))/(3) = 432√(3)

Ora possiamo procedere in due modi: o applicando la formula di Erone oppure avvalendosi delle formule relative al triangolo rettangolo 30-60.

L'uso della formula di Erone però ci conduce a un'equazione risolvente davvero molto complicata, ecco perché eviteremo di usarlo. È più furbo invece considerare l'altezza EH relativa al lato DB del triangolo di vertici EDB e prendere in considerazione il triangolo rettangolo di vertici EHB.

Esso è un triangolo particolare del tipo 30°-60°. Grazie alle formule che lo riguardano siamo in grado di ricavare l'altezza EH mediante la relazione

EH = EB·(√(3))/(2) =

e poiché EB è congruente a AD = x, scriviamo:

= (√(3))/(2)x

Ora che conosciamo l'espressione di EH in termini di x, siamo capaci di impostare l'equazione risolvente

 Area(DEB) = 432√(3) → (DB·EH)/(2) = 432√(3)

da cui

((96-x)·(√(3))/(2)x)/(2) = 432√(3)

Esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni

((96-x)·√(3) x)/(4) = 432√(3)

moltiplichiamo per 4 e dividiamo per √(3) i due membri

(96-x)x = 4·432 → (96-x)x = 1728

da cui

96x-x^2 = 1728 → x^2-96x+1728 = 0

Ci siamo ricondotti a un'equazione di secondo grado completa con coefficienti

a = 1 ; b = -96 ; c = 1728

Poiché il coefficiente di x è un numero pari, determineremo le soluzioni dell'equazione mediante la formula ridotta.

Calcoliamo dunque il delta quarti con la relazione

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = (-(96)/(2))^2-1·1728 = 2304-1728 = 576

e osserviamo che dalla sua positività segue che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la formula

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = -(-96)/(2)±24 = 48-24 = 24 = x_1 ; 48+24 = 72 = x_2

Se consideriamo la prima soluzione, vale a dire se x = 24, i due segmenti in cui viene diviso il lato AB sono

 AD = x = 24 m ; DB = 96-x = 96-24 = 72 m

Se consideriamo la seconda soluzione, ossia se x = 72 allora i due segmenti valgono

 AD = x = 72 m ; DB = 96-x = 96-72 = 24 m

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco
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Os