Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane

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Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane #12616

avt
anna vicaretti
Cerchio
Ragazzi vorrei una mano per una dimostrazione con i criteri di similitudine per i triangoli, in un problema sulla mediana. Potreste spiegarmi come dimostrare l'enunciato?

Nel triangolo ABC traccia per il punto medio del lato AB la parallela alla mediana AD. Essa incontra le rette dei lati AC e BC nei punti R e T.
Dimostra che MR+MT=\frac{3}{2}AD.

Grazie
 
 

Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane #12633

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna!

Disegna la figura e segui il ragionamento.. emt

Per provare che

MR+MT=\frac{3}{2}AD

dimostreremo che MT=\frac{1}{2}AD e che MR=AD.

Cominciamo con la prima delle due relazioni: MT=\frac{1}{2}AD. Dimostriamo che i due triangoli ADB,MTB sono simili e in particolare che i loro lati sono in rapporto pari a 2.

Per vedere che i due triangoli sono simili, proviamo che hanno gli angoli corrispondenti congruenti. Infatti:

DAB=TMB in quanto angoli corrispondenti (AD// TM sono segmenti paralleli tagliati dalla trasversale AB)

ADB=MTB in quanto angoli corrispondenti (AD// TM sono segmenti paralleli tagliati dalla trasversale CB)

ABD=MBT in quanto sovrapposti.

A questo punto basta osservare che AB=2MB per definizione di punto medio, e il gioco è fatto: MT=\frac{1}{2}AD.


Passiamo a dimostrare che MR=AD. Per farlo, dimostriamo che i due triangoli RCT,ACD sono simili, e in particolare che hanno i lati in rapporto pari a 3/2.

Osserviamo che:

CAD=CRT in quanto angoli corrispondenti (AD// RT sono segmenti paralleli tagliati dalla trasversale RC)

ADC=RTC in quanto angoli corrispondenti (AD// RT sono segmenti paralleli tagliati dalla trasversale CB)

ACD=RCT in quanto sovrapposti.

Per quanto visto al primo punto, sappiamo che

CD=DB=2TB

da cui TB=DT, e quindi

CT=CD+DT=DB+DT=2TB+DT=2DT+DT=3DT

cioè

CT=\frac{3}{2}CD

da qui, per similitudine, si ricava direttamente che

RT=MR+MT=\frac{3}{2}AD

ecco fatto emt
Ringraziano: Pi Greco

Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane #12678

avt
anna vicaretti
Cerchio
Omega non capisco la figura, dove va AD?
Intanto grazie mille per la disponibilità!
Ringraziano: Omega

Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane #12679

avt
Omega
Amministratore
AD è la mediana relativa al lato BC, quindi D è il punto medio di BC.

Dimostrazione sui triangoli con criteri di similitudine e mediane #12682

avt
anna vicaretti
Cerchio
Perfetto, grazie!!
Ringraziano: Omega
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Os