Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana)

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Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana) #12579

avt
anna vicaretti
Cerchio
Riuscite ad aiutarmi anche questa volta amici miei? Si tratta di due dimostrazioni sul parallelogramma che non ho idea di come fare...Grazie!

1) Le bisettrici degli angoli opposti B e D di un parallelogramma intersecano la retta AD in E e la retta BC in F. Dimostra che BEDF è un parallelogramma e che AC e EF si tagliano scambievolmente a metà
Se ABCD è un rombo BEDF non esiste. Perchè?

2) Disegna un parallelogramma ABCD in modo che il lato BC sia la metà della base AB. Indica con E il punto medio di AB. Dimostra che l'angolo DE^C è retto.
 
 

Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana) #12582

avt
trilligiorgi
Cerchio
1) Gli angoli opposti di ogni parallelogramma debbono essere congruenti, pertanto le loro bisettrici creano quattro angoli congruenti.

Il quadrilatero BEDF ha EB^F = FD^E, angoli opposti.
Inoltre FD^E = DF^C perché alterni interni di rette // (AD e BC), e, per lo stesso motivo anche EB^F = AE^B. Per quanto detto sopra deve seguire AE^B = DF^C. Considerando i loro angoli supplementari si ha:

BE^D = BF^D

anch'essi angoli opposti del quadrilatero BEDF.

Dunque, per un criterio sui parallelogrammi, avendo BEDF coppie di angoli opposti congruenti, esso è un parallelogramma.

Riguardo all'ultima richiesta, tracciamo dapprima le diagonali di BEDF che si bisecano scambievolmente in H, per cui EH = HF.

Consideriamo ora i triangoli AEH e FHC; essi hanno:

AE = FC in quanto AE = AD - ED e FC = BC - BF (e AD = BC; ED = BF)
EH = HF per quanto visto sopra
AE^H = HF^C in quanto alterni interni di rette parallele tagliate da una trasversale (AD e BC)

Per il primo criterio di congruenza dei triangoli deve essere AEH = FHC. Ne consegue:

AH = HC.

ma anche:

AH^E = FH^C

per cui H appartiene alla diagonale AC e tale punto la dimezza.

Ciao
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, anna vicaretti, CarFaby

Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana) #12614

avt
Omega
Amministratore
Hello evribadi! emt

Ottimo! La grandissima Trilli emt si è occupata del primo, io penso al secondo emt

Disegna la figura e segui il ragionamento: per costruzione abbiamo che i due triangoli ADE e ECB sono triangoli isosceli, quindi hanno gli angoli alla base congruenti:

ADE=AED

e

ECB=CEB

La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180^{o}, per cui risulta che

ADE+AED+DAE=180^{o}

e

BEC+ECB+CBE=180^{o}

Ne ricaviamo

2AED=180^{o}-DAE

e

2CEB=180^{o}-EBC

Dato che abbiamo a che fare con un parallelogramma, sappiamo che gli angoli adiacenti sono supplementari, quindi

DAE=180^{o}-EBC

Sostituendo tale relazione nella prima delle due precedenti

2AED=180^{o}-(180^{o}-EBC)=EBC

Sostituendo EBC=2AED nella seconda delle due precedenti relazioni

2CEB=180^{o}-2AED

da cui ricaviamo

CEB=90^{o}-AED

Se consideriamo quindi

DEC=180^{o}-(AED+CEB)=180^{o}-AED-CEB=

e sostituiamo CEB=90^{o}-AED, otteniamo

=180^{o}-AED-90^{o}+AED=90^{o}

Abbiamo finito! emt
Ringraziano: Pi Greco, anna vicaretti, CarFaby

Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana) #12669

avt
anna vicaretti
Cerchio
ma quanto è tortuosa la geometria! Comunque sempre grazie per l'aiuto e la chiarezza. La prolissità mi è utile perchè mi aiuta a seguire meglio i passaggi. Sei un gran maestro!
Ringraziano: Omega

Due problemi sui parallelogrammi (dimostrazioni di geometria piana) #12670

avt
Omega
Amministratore
Eeeeeeee!... emt emt Grazie! emt
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Os