Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi

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Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi #12545

avt
anna vicaretti
Cerchio
Sono riuscita a farne una montagna di esercizi ma questi due no, sono dimostrazioni sugli angoli corrispondenti con parallelogrammi e triangoli :( ...

1) Nel triangolo ABC traccia la mediana BM. Per il suo punto medio conduci le parallele ai lati AB e BC che incontrano AC in E e F. Dimostra che M è il punto medio di EF.

2) Nel parallelogramma ABCD prolunga il lato AB di un segmento BM congruente a BC e il lato AD di un segmento DN congruente a DC. Dimostra che MCN sono allineati.

Grazie!
 
 

Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi #12554

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt

Cominciamo con il primo dei due problemi. Lo so che sono ripetitivo, ma non posso fare altro se non esordire con: "Disegna la figura e segui il ragionamento" emt

Chiamiamo N il punto medio della mediana, e consideriamo i triangoli ENF e ABC. Vogliamo mostrare che questi due triangoli sono simili, e che in particolare i lati di ENF stanno in un rapporto pari a 1/2 con i lati corrispondenti del triangolo ABC.

Come possiamo mostrare che i due triangoli sono simili? Facendo vedere che i corrispondenti angoli sono congruenti. Non è difficile: l'unica cosa che ci serve è il seguente risultato: gli angoli corrispondenti individuati da una trasversale che taglia due rette parallele sono congruenti.

Noi sappiamo che i segmenti AB // EN sono paralleli. Consideriamo la trasversale AC, che individua due angoli corrispondenti: MEN=CAB.

Allo stesso modo, considerando i due segmenti paralleli FN // CB e la trasversale AC abbiamo che gli angoli corrispondenti MFN=ACB sono congruenti.

Infine, ragionando in maniera del tutto analoga si prova che sono congruenti gli angoli MFN=MBC e MNE=MBA, per cui

FNE=FNM+MNE=CBM+MBA=CBA

Abbiamo dimostrato che i due triangoli ABC,ENF sono simili, dunque per definizione i lati corrispondenti sono in rapporto costante. (Vedi: criteri di similitudine).

Non resta che osservare che

MB=2MN

per dedurre che

AC=2EF

e in particolare, ragionando sulle coppie di triangoli MBC,MNF e MBA,ENM si vede subito che

AM=2EM

MC=2MF

essendo AM=MC per definizione di mediana si conclude che

2EM=2MF

ossia EM=MF

e il primo è andato, in arrivo il secondo emt
Ringraziano: LittleMar, Ifrit

Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi #12559

avt
Omega
Amministratore
Il secondo problema è più semplice del primo. emt

Dopo aver costruito la figura, per provare che N,C,M sono punti allineati, cioè che si trovano su una medesima retta, basta dimostrare che i segmenti NC e CM formano angoli supplementari con il segmento DC, vale a dire che

DCN=180^{o}-DCM

dove DCM=DCB+BCM. Consideriamo l'angolo DAB: per le proprietà dei parallelogrammi sappiamo che gli angoli opposti sono congruenti e gli angoli adiacenti ad uno stesso lato sono supplementari. In particolare

DAB=NDC

in quanto angoli corrispondenti, facendo riferimento ai segmenti paralleli AB // DC tagliati dalla trasversale AN. In modo del tutto analogo si vede che sono congruenti gli angoli DAB=CBM.

Ora osserviamo che i triangoli NDC,CBM sono triangoli isosceli per costruzione, quindi hanno angoli alla base congruenti e quindi

DNC=DCN\mbox{ ; }BCM=BMC

La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è pari a 180^{o}, per cui

DNC+DCN=180^{o}-NDC

e

BCM+BMC=180^{o}-CBM

Essendo entrambi i triangoli isosceli

2DCN=180^{o}-NDC

e

2BCM=180^{o}-CBM

per quanto visto in precedenza NDC=DAB=CBM, quindi confrontando le due uguaglianze

2DCN=180^{o}-DAB

e

2BCM=180^{o}-DAB

Se ne ricava che DCN=BCM.

Essendo gli angoli opposti di un parallelogramma congruenti, DAB=DCB, quindi

2BCM=180^{o}-DCB

cioè

BCM+BCM=180^{o}-DCB

DCN+BCM=180^{o}-DCB

DCN=180^{o}-DCB-BCM

DCN=180^{o}-(DCB+BCM)

DCN=180^{o}-DCM

e abbiamo finito (non farti trarre in inganno: nello svolgimento sono stato super prolisso, questo problema è molto più semplice di quanto sembri) emt
Ringraziano: LittleMar, Ifrit, anna vicaretti

Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi #12563

avt
anna vicaretti
Cerchio
grazie sei stato chiarissimo.... ma era davvero tosto...non ce la potevo fare
Ringraziano: Omega

Due esercizi sugli angoli corrispondenti, con triangoli e parallelogrammi #12565

avt
Omega
Amministratore
E' un piacere! emt
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Os