Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati

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Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati #11535

avt
anna vicaretti
Cerchio
Ciao cari amici avrei bisogno del vostro prezioso aiuto per la dimostrazione di una proprietà sul centro di un rombo, mi spiegate il procedimenti per cortesia?

Nel rombo ABCD le diagonali si incontrano nel punto O. Traccia le distanze OH, OK, OP, OQ del punto O rispettivamente dai lati AB, BC, CD,DA.
Dimostra che tali distanze sono congruenti e che i punti POH sono allineati.

Grazie mille!
 
 

Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati #11536

avt
Omega
Amministratore
Ciao Anna emt

Dopo aver disegnato la figura si può concludere abbastanza velocemente che le distanze OH,OK,OP,OQ sono tra loro congruenti. Tali segmenti sono infatti rispettivamente perpendicolari ai lati AB,BC,CD,DA e quindi sono le altezze dei triangoli rettangoli (tutti rettangoli in O) ABO,BCO,CDO,ADO.

E' sufficiente quindi provare che tali triangoli sono tutti congruenti tra loro, e per farlo basta applicare uno dei tre criteri di congruenza (abbiamo l'imbarazzo della scelta emt ). Ad esempio, basta ricordare che le diagonali di un rombo si incontrano in un punto che le divide ciascuna in coppie di segmenti tra loro congruenti, e che le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

A questo punto, si applica il primo criterio di congruenza: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso.

Per vedere che i punti H,K,P,Q sono allineati basta ragionare su coppie di punti consecutivi, ad esempio H,K e K,P. Per vedere che H,K sono allineati basta osservare che i triangoli AHO,KOC sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato (due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e un lato), infatti:

- in termini di angoli KAO=KCO e AHO=OKC=90^{o}

- in termini di lati AO=OC

Dalla congruenza dei due triangoli desumiamo che sono congruenti gli angoli AOK=KOC: l'allineamento dei punti H,K si prova osservando inoltre che sono congruenti gli angoli KAO=KCO.

Ragionando in modo analogo sulle coppie di triangoli KOC,COP, COP,AOQ e AOQ,AOH si ha la tesi.

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...emt
Ringraziano: LittleMar, anna vicaretti

Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati #11538

avt
anna vicaretti
Cerchio
Mi dispiace approfittare della tua disponibilità ma già che c'è.....
ho capito bene la prima parte ma all'allineamento non ci arrivo. C'è un altro modo più elementare di spiegarmelo?
Grazie

Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati #11540

avt
Omega
Amministratore
Scherzi?! Devi assolutamente, siamo qui apposta per questo emt

Per quanto riguarda l'allineamento, in effetti mi rendo conto di essere stato un po' criptico...emt

Nel caso delle coppie di vertici H,K e P,Q, l'allineamento si prova in base a quanto osservato nel precedente post: la conclusione si raggiunge osservando che i triangoli AHO e KOC sono congruenti, quindi sono congruenti le loro altezze relative ai lati AO,OC. Essendo i lati AO,OC parte del medesimo segmento AC, ed essendo i vertici H,K equidistanti da tale segmento (i segmenti che misurano la distanza da AC sono le altezze) si conclude che essi sono allineati.

Stesso discorso per i vertici P,Q.

Ora prendiamo la coppia di vertici P,K, e tracciamo il segmento PK. Consideriamo poi i triangoli DOC e BOC, che sono congruenti (anche qui puoi scegliere uno qualsiasi dei criteri di congruenza - ad esempio il terzo) e quindi hanno congruenti in particolare le altezze PO e OK. Dato inoltre il fatto che i due triangoli DOC e BOC hanno i lati BO e OD che giacciono sullo stesso segmento BD, si conclude subito che P,K sono allineati.
Stesso discorso per Q,H.

emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, anna vicaretti
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Os