Dimostrare che il centro di un rombo è equidistante dai lati

Ciao cari amici avrei bisogno del vostro prezioso aiuto per la dimostrazione di una proprietà sul centro di un rombo, mi spiegate il procedimenti per cortesia?

Nel rombo ABCD le diagonali si incontrano nel punto O. Traccia le distanze OH, OK, OP, OQ del punto O rispettivamente dai lati AB, BC, CD,DA.

Dimostra che tali distanze sono congruenti e che i punti POH sono allineati.

Grazie mille!

Ciao Anna

Dopo aver disegnato la figura si può concludere abbastanza velocemente che le distanze sono tra loro congruenti. Tali segmenti sono infatti rispettivamente perpendicolari ai lati e quindi sono le altezze dei triangoli rettangoli (tutti rettangoli in ) .

E' sufficiente quindi provare che tali triangoli sono tutti congruenti tra loro, e per farlo basta applicare uno dei tre criteri di congruenza (abbiamo l'imbarazzo della scelta ). Ad esempio, basta ricordare che le diagonali di un rombo si incontrano in un punto che le divide ciascuna in coppie di segmenti tra loro congruenti, e che le diagonali di un rombo sono tra loro perpendicolari.

A questo punto, si applica il primo criterio di congruenza: due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso.

Per vedere che i punti sono allineati basta ragionare su coppie di punti consecutivi, ad esempio e . Per vedere che sono allineati basta osservare che i triangoli sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato (due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due angoli e un lato), infatti:

- in termini di angoli e

- in termini di lati

Dalla congruenza dei due triangoli desumiamo che sono congruenti gli angoli : l'allineamento dei punti si prova osservando inoltre che sono congruenti gli angoli .

Ragionando in modo analogo sulle coppie di triangoli , e si ha la tesi.

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...

Mi dispiace approfittare della tua disponibilità ma già che c'è.....

ho capito bene la prima parte ma all'allineamento non ci arrivo. C'è un altro modo più elementare di spiegarmelo?

Grazie

Scherzi?! Devi assolutamente, siamo qui apposta per questo

Per quanto riguarda l'allineamento, in effetti mi rendo conto di essere stato un po' criptico...

Nel caso delle coppie di vertici e , l'allineamento si prova in base a quanto osservato nel precedente post: la conclusione si raggiunge osservando che i triangoli e sono congruenti, quindi sono congruenti le loro altezze relative ai lati . Essendo i lati parte del medesimo segmento , ed essendo i vertici equidistanti da tale segmento (i segmenti che misurano la distanza da sono le altezze) si conclude che essi sono allineati.

Stesso discorso per i vertici .

Ora prendiamo la coppia di vertici , e tracciamo il segmento . Consideriamo poi i triangoli e , che sono congruenti (anche qui puoi scegliere uno qualsiasi dei criteri di congruenza - ad esempio il terzo) e quindi hanno congruenti in particolare le altezze e . Dato inoltre il fatto che i due triangoli e hanno i lati e che giacciono sullo stesso segmento , si conclude subito che sono allineati.

Stesso discorso per .