Problema sulle proiezioni di un triangolo rettangolo.

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Problema sulle proiezioni di un triangolo rettangolo. #11040

avt
ROBI10
Punto
In questo problema con le proiezioni dei cateti di un triangolo rettangolo la mia difficoltà maggiore, oltre alla risoluzione, è capire quale sia la proiezione del lato AC sull'ipotenusa.

In un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa BC la proiezione del cateto AC sull'ipotenusa è lunga 9 cm. Sapendo che AB^2=\frac{4}{9}AC^2. Determina l'area del triangolo.

Grazie in anticipo.
 
 

Re: Problema sulle proiezioni di un triangolo rettangolo. #11051

avt
frank094
Maestro
Facciamo riferimento ad uno dei due teoremi di Euclide:

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull'ipotenusa stessa.

Faremo uso di questo teorema per calcolarci il cateto; nel frattempo possiamo ricavarci l'ipotenusa dal teorema di Pitagora.

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2

Il testo ci da la relazione che intercorre tra i cateti elevati al quadrato perciò sostituiamo il primo in funzione del secondo

\overline{BC}^2 = \frac{4}{9} \overline{AC}^2 + \overline{AC}^2 = \frac{13}{9} \overline{AC}^2

Sfruttiamo adesso il teorema prima esposto sapendo che il quadrato costruito su di un cateto è dato dal prodotto tra ipotenusa e proiezione del cateto sulla stessa.. si ha cioé

\overline{AC}^2 = \overline{BC} \cdot \overline{CD}

Sostituiamo l'ipotenusa ricavata in precedenza..

\overline{AC}^2 = 3 \sqrt{13}  \cdot \overline{AC}

Da cui si ottiene che

\overline{AC} = 3 \sqrt{13}

Ricaviamoci ora il secondo cateto in modo da fare il prodotto..

\overline{AB}^2 = \frac{4}{9} \cdot 9 \cdot 13 \implies \overline{AB} = 2 \sqrt{13}

L'area è data dal semi-prodotto tra i due cateti

A = \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \frac{1}{2} = 39

Ed è tutto!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, ROBI10
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