Omotetia e equazione e fuochi di una parabola

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Omotetia e equazione e fuochi di una parabola #10852

avt
tappo
Punto
Ciao ragazzi non ho la più pallida idea di come affrontare il seguente esercizio su parabole e omotetie. Potete darmi una mano?

In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy considera la parabola p avente come asse di simmetria la retta di equazione x=1/4 e tangente in O(0;0) alla bisettrice del 1° e 3° quadrante e l’omotetia di centro O e rapporto k=2:

a) determina l’equazione della parabola p;

b) determina l’equazione della parabola p’ corrispondente di p nell’omotetia;

c) individua le coordinate dei fuochi Fe F’ e dei vertici V e V’ delle due parabole e calcola la distanza tra vertice e fuoco di ogni parabola;

d) supponendo ora che la parabola p sia una sezione di uno specchio concavo, considera un opportuno raggio incidente avente la stessa direzione dell’asse della parabola (osserva che conosci la tangente alla parabola p in O(0;0)) e verifica che il raggio riflesso passa per il fuoco della parabola.

Le soluzioni sono: p: y=-2x^2+x ; p’: y=-x^2+x ; F(1/4;0) ; F(1/2;0) ; V(1/4;1/8) ; V’(1/2;1/4) ; VF=1/8 ; V’F’=1/4.
 
 

Omotetia e equazione e fuochi di una parabola #10865

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao tappo iniziamo emt

L'equazione canonica della parabola è:

\gamma: y=ax^2+bx+c

dove a,b,c sono parametri da determinare:

Abbiamo l'asse di simmetria:

x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\implies b=-\frac{a}{2}

Inoltre la parabola passa per il punto P(0,0). Imponendo la condizione di appartenenza:

O(x_0, y_0)\in \gamma\iff y_0=ax_0^2+bx_0+c

otteniamo che:

O(0, 0)\in \gamma\iff c=0

l'equazione della parabola è quindi del tipo:

y=-2b x^2+b x

La parabola è tangente alla retta:

r: y=  x


Imponiamo la condizione di tangenza:

\begin{cases}y=-2bx^2+bx\\ y= x\end{cases}

Per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente:

x= -2bx^2+ bx

Da cui:


2bx^2+(1-b)x=0

Il discriminate della equazione ottenuta deve essere uguale a zero:

\Delta=(1-b)^2=0\implies b=1


Abbiamo determinato il parametro b di conseguenza la parabola

\gamma: y=-2x^2+x

Il fuoco di questa parabola è:

F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)=F\left(\frac{1}{4}, 0\right)

Il vertice è dato invece da:

V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{8}\right)

La distanza tra il fuoco e il vertice è ovviamente:

VF=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}= \sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}

Determiniamo ora la parabola \gamma_1

Dobbiamo effettuare la seguente trasformazione di coordinate:

x'= 2 x\implies x= \frac{1}{2}x'

y'=2 y\implies y=\frac{1}{2}y'

di conseguenza:

\frac{y'}{2}= -2(x'/2)^2+x'/2\implies y'=-x'^2+x'

E' l'equazione della parabola cercata.

Con le stesse formule utilizzate in precedenza troviamo:

V'\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

F'\left(\frac{1}{2},0\right)

La distanza:

V'F'=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2}= \frac{1}{4}

Dell'ultimo punto ... Non ho capito cosa chiede emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Omotetia e equazione e fuochi di una parabola #10883

avt
Prof.MassimoG
Cerchio
L'ultimo punto riguarda una nota proprietà delle parabole (o forse in questo caso delle superfici dette paraboloidi, cioè di quelle superfici ottenute dalla rotazione di una parabola attorno al proprio asse di simmetria, come si farebbe per ottenere una sfera da una circonferenza). Tale proprietà ci dice che gli specchi parabolici sono tali da riflettere un fascio di raggi paralleli al proprio asse concentrandoli nel fuoco e, viceversa, di riflettere un fascio di raggi divergenti che originano dal fuoco (come se nel fuoco ci fosse una sorgente luminosa puntiforme) in un fascio parallelo. Tale proprietà è quella utilizzata per fare le "parabole" intese come antenne paraboliche, che orientate in modo che il proprio asse punti al satellite, riflettono le onde radio provenienti da tale satellite (che, avendo origine in un punto molto lontano, possono essere considerati parallelli) nel proprio fuoco, dove c'è l'elemento ricevente, detto illuminatore, che è in grado di ricevere il messaggio radio proprio perché queste onde sono concentrate.
Ricordo che le leggi di riflessione impongono che l'angolo tra il raggio incidente e la perpendicolare alla superficie (cioè la perpendicolare al piano tangente) è uguale a quello tra tale perendicolare ed il reggio rifratto.
Il che significa che, se consideriamo una retta parallella all'asse della parabola (raggio incidente), per determinare il raggio riflesso occorre determinare il punto di intersezione tra tale retta e la parabola, determinare poi la tangente alla parabola in tale punto e quindi la retta perpendicolare alla tangete nel medesimo punto ed infine determinare la retta simmetrica alla retta originaria rispetto alla retta perpendicolare appena trovata. Tale retta (raggio riflesso) passerà per l'origine.
Nel nostro caso i conti sono praticamente inesistenti, infatti:

scegliamo come raggio incidente l'asse delle y, di equazione x=0, così abbiamo come punto di incidenza l'origine, come tangente già nota la bisettrice y=x e come perpendicolare l'altra bisettrice y=-x. Il raggio riflesso coincide con la retta simmetrica all'asse delle y rispetto alla bisettrice cioè è l'asse delle x, di equazione y=0, e tale retta passa per il fuoco che ha ordinata zero.emt
Naturalmente, come richiesto abbiamo usato un opportuno raggio incidente parallelo all'asse, siu potrebbe verificarlo per ogni raggio incidente parallelo all'asse, con un po' di conti (neanche così tanti), ma vista l'ora tarda direi che il post con la verifica generale lo scriverei domani
Ringraziano: Omega, Ifrit, CarFaby
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Os