Omotetia e equazione e fuochi di una parabola

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Omotetia e equazione e fuochi di una parabola #10852

avt
tappo
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un problema piuttosto complicato che riguarda le parabole, le omotetie e la proprietà focale delle parabole. Potreste aiutarmi?

In un riferimento cartesiano ortogonale Oxy si consideri la parabola \mathrm{P} avente come asse di simmetria la retta di equazione x=\frac{1}{4} e tangente in O(0,0) alla bisettrice del primo e del terzo quadrante e l’omotetia di centro O e rapporto k=2:

(a) determinare l’equazione della parabola \mathrm{P};

(b) determinare l’equazione della parabola \mathrm{P}â corrispondente di \mathrm{P} nell’omotetia;

(c) individuare le coordinate dei fuochi F\ \mbox{e} \ Fâ e dei vertici V\ \mbox{e} \ Vâ delle due parabole e calcolare la distanza tra vertice e fuoco di ogni parabola.

Grazie.
 
 

Omotetia e equazione e fuochi di una parabola #10865

avt
Ifrit
Amministratore
Il problema si compone di diverse richieste che affronteremo una alla volta: determiniamo prima di tutto l'equazione della parabola \mathrm{P}, avente per asse di simmetria la retta di equazione x=\frac{1}{4} e tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, di equazione y=x, nel punto O(0,0).

L'equazione canonica della parabola, con asse parallelo a quello delle ordinate è:

\mathrm{P}:\ y=ax^2+bx+c

dove a,b,c sono parametri da determinare usando le precedenti informazioni.

Poiché l'equazione dell'asse di simmetria è x=\frac{1}{4}, allora -\frac{b}{2a} deve coincidere con \frac{1}{4}:

-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}\ \implies\ a+2b=0

da cui a=-2b.

Sappiamo inoltre che la parabola \mathrm{P} passa per il punto O(0,0) per cui imponendo la condizione di appartenenza

O(0, 0)\in \mathrm{P}\ \iff \ 0=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c

ricaviamo che c dev'essere uguale a 0:\ c=0.

Per a=-2b\ \mbox{e} \ c=0, l'equazione della parabola diventa:

\mathrm{P}:\ y=-2bx^2+bx

Per completare l'equazione abbiamo bisogno del valore di b e per ricavarlo, sfruttiamo il fatto che la parabola è tangente alla retta y=x.

A questo proposito, costituiamo il sistema con le equazioni della parabola e della bisettrice:

\begin{cases}y=-2bx^2+bx\\ y=x\end{cases}

e procediamo col metodo di sostituzione per ottenere la risolvente associata

x=-2bx^2+ bx\ \ \ \to \ \ \ 2bx^2+(1-b)x=0

\mathrm{P} è tangente alla bisettrice nell'origine se e solo se il discriminante della risolvente è zero, ossia se

\Delta=0 \ \ \to \ \ (1-b)^2=0\ \ \to \ \ b=1

Sostituendo b=1, l'equazione di \mathrm{P} è:

\mathrm{P}:\ y=-2x^2+x

e grazie ai suoi coefficienti

a=-2\ \ \ ; \ \ \ b=1 \ \ \ ; \ \ \ c=0

saremo in gradi di calcolare i punti notevoli.


Fuoco, vertice della parabola e loro distanza

Il fuoco della parabola è:

\\ F\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-\Delta}{4a}\right)=\left(-\frac{1}{2\cdot(-2)}, \frac{1-1}{4\cdot (-2)}\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{1}{4},0\right)

mentre il suo vertice è dato da:

\\ V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)=\left(-\frac{1}{2(-2)}, -\frac{1}{4\cdot(-2)}\right)=\\ \\ \\ =\left(\frac{1}{4},\frac{1}{8}\right)

Usiamo la formula della distanza tra due punti per calcolare quella tra il fuoco e il vertice.

\\ \overline{VF}=\sqrt{(x_V-x_F)^2+(y_V-y_F)^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{8}-0\right)^2}= \\ \\ \\ =\sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^2}=\frac{1}{8}


Omotetia: equazione della seconda parabola

Determiniamo ora l'equazione della parabola \mathrm{P}' sapendo che è essa corrisponde a \mathrm{P}, mediante l'omotetia di centro nell'origine e rapporto k=2, definita da

\begin{cases}x'=2x\\ y'=2x\end{cases}

Dal sistema si ottengono le relazioni esprimono x\ \mbox{e}\  y in termini di x'\ \mbox{e} \ y'

\begin{cases}x=\dfrac{x'}{2}\\ \\ y=\dfrac{y'}{2}\end{cases}

Sostituiamo x=\frac{x'}{2} e y=\frac{y'}{2} nell'equazione di \mathrm{P} ricavando così quella di \mathrm{P}'

\mathrm{P}': \ \frac{y'}{2}=-2\left(\frac{x'}{2}\right)^2+\frac{x'}{2}

che semplificata diventa

y'=-x'^2+x'


Fuoco, vertice e loro distanza per la seconda parabola

Indichiamo con a', b', c' i coefficienti della parabola \mathrm{P}'

a'=-1 \ \ \ ;\ \ \ b'=1 \ \ \ ; \ \ \ c'=0

e usiamoli per calcolare il fuoco e il vertice della parabola.

Il vertice è:

\\ V'\left(-\frac{b'}{2a'}, -\frac{b'^2-4a'c'}{4a'}\right)=\left(-\frac{1}{2(-1)},-\frac{1}{4(-1)}\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)

mentre il fuoco è:

\\ F'\left(-\frac{b'}{2a'},\frac{1-(b'^2-4a'c')}{4a'}\right)=\left(-\frac{1}{2(-1)},\frac{1-1}{4(-1)}\right)= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{2},0\right)

Note le coordinate del fuoco e del vertice, possiamo calcolare la loro distanza con la formula:

\\ \overline{V'F'}=\sqrt{(x_{V'}-x_{F'})^2+(y_{V'}-y_{F'})^2}=\\ \\ \\ =\sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}-0\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os