Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia

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Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia #9965

avt
zorro
Punto
Ho un problema con le rette tangenti a delle circonferenze, che riguarda anche le omotetie.
Avrei bisogno di un aiuto per la risoluzione:

date le rette x+y-4=0 e x-y-4=0 trovare centro e raggio:

A) della circonferenza C1 situata nel primo quadrante, tangente a t1 nel punto T1 (3;1) e a T2;

B) delle circonferenze C2 e C3 tangenti a entrambe le rette e passanti per il centro di C1.

C) le due circonferenze C2 e C3 si corrispondono in una omotetia, della quale si chiedono centro e rapporto.

Il punto A l'ho risolto: centro (4,2) e raggio radice di 2 e torna. Mi basta il ragionamento per i restanti punti dell'esercizio. Grazie mille!
 
 

Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia #10005

avt
Omega
Amministratore
Ciao Zorro! emt

Per determinare le circonferenze cercate ci si può buttare in un mare di conti, con una bassissima probabilità di esaudire le richieste dell'esercizio correttamente...In alternativa, con un po' di ragionamento, ci possiamo risparmiare molti calcoli e determinare velocemente le equazioni delle circonferenze cercate.

Formule della circonferenza a portata di mano, vediamo come uscirne.

La prima osservazione riguarda il fatto che conoscendo il centro di una circonferenza e il raggio possiamo individuare in modo univoco la circonferenza cercata. Basta fare riferimento all'equazione

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

Se, come credo, hai disegnato le due rette x+y-4=0 e x-y-4=0 per risolvere il punto 1), ti sarai sicuramente accorto che si incontrano nel punto (4,0) e che sono tra loro perpendicolari: basta osservare che hanno coefficienti angolari opposti e tali da essere l'uno il reciproco dell'altro (condizione di perpendicolarità tra due rette)

y=-x+4

y=x-4

La terza osservazione che ci serve riguarda il fatto che il raggio di una circonferenza che congiunge il centro della stessa alla retta tangente nel punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente. Da qui è semplicissimo vedere che, dato che ci interessano le circonferenze tangenti nel primo quadrante alle due rette, i centri devono necessariamente trovarsi lungo la retta x=4, con ordinata y>0.

Per calcolare il raggio di una circonferenza con centro sulla retta x=4 e tangente a entrambe le rette considerate, basta calcolare la distanza del generico punto (2,y) da una delle due rette, diciamo da x-y-4=0.

Usiamo la formula per la distanza di un punto da una retta

r=\frac{|ax_P+by_P+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

dove (x_P,y_P) sono le coordinate del punto P e la retta dalla quale si calcola la distanza è da intendersi scritta nella forma ax+by+c=0. In sintesi:

r_1=\frac{4-y_2-4}{\sqrt{2}}=\frac{y_2}{\sqrt{2}}

r_2=\frac{4-y_3-4}{\sqrt{2}}=\frac{y_3}{\sqrt{2}}

dove abbiamo eliminato il modulo perché le ordinate dei centri delle circonferenze C_2,C_3 vanno scelte positive.

Abbiamo due equazioni generiche: una per C_2 e una per C_3

(x-4)^2+(y-y_2)^2=\frac{y_2^2}{2}

(x-4)^2+(y-y_3)^2=\frac{y_3^2}{2}

Entrambe le circonferenze devono passare per il centro (4,2) della circonferenza C_1, quindi sostituendo le coordinate del punto nelle due equazioni

(4-4)^2+(2-y_2)^2=\frac{y_2^2}{2}

(4-4)^2+(2-y_3)^2=\frac{y_3^2}{2}

da cui

(2-y_2)^2=\frac{y_2^2}{2}

(2-y_3)^2=\frac{y_3^2}{2}

Queste sono due equazioni di secondo grado che, risolte, ti forniranno le ordinate dei centri delle circonferenze C_1,C_2, e quindi le equazioni delle due circonferenze.

Si trovano come centri y_2=2(2-\sqrt{2}) e y_3=2(2+\sqrt{2}).

Disegnare le circonferenze, a questo punto, non dovrebbe essere difficile: per quanto concerne l'omotetia tra le due circonferenze, basta osservare che il centro è proprio il punto di intersezione tra le due circonferenze, mentre il rapporto è il rapporto tra i due raggi delle circonferenze.

Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...emt
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit
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