Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia

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Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia #9965

avt
zorro
Punto
Non so risolvere un problema di Geometria Analitica su circonferenze, rette tangenti e omotetia. Dovrei scrivere l'equazione di una circonferenza conoscendone il centro e sapendo che è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

Dovrei inoltre trovare il centro e il raggio della circonferenza corrispondente alla prime rispetto a un'omotetia.

Sia r la bisettrice del primo e del terzo quadrante.

(a) Scrivere l'equazione della circonferenza mathrmC di centro C(2,1) e tangente a r.

(b) Calcolare il centro e il raggio della circonferenza corrispondente a mathrmC nell'omotetia centrata in (2,2) e con rapporto di dilatazione k = 2.

Grazie.
 
 

Problema con rette tangenti, circonferenze e omotetia #10005

avt
Omega
Amministratore
Il problema chiede di scrivere l'equazione della circonferenza mathrmC_1, di centro

C(x_(C),y_(C)) = (2,1)

e tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante, di equazione

r: y = x

Il secondo punto ci chiede di calcolare il centro e il raggio della circonferenza corrispondente a mathrmC_1 rispetto all'omotetia centrata nel punto

C_O(x_(C_O),y_(C_O)) = (2,2)

e con rapporto di dilatazione k = 2.


Equazione della circonferenza tangente alla bisettrice

In generale, l'equazione della circonferenza di centro C(x_(C),y_(C)) e raggio R è:

mathrmC: (x-x_(C))^2+(y-y_(C))^2 = R^2

e se sostituiamo i valori

x_(C) = 2 ; y_(C) = 1

l'equazione della circonferenza mathrmC diventa

mathrmC: (x-2)^2+(y-1)^2 = R^2

Manca solo il raggio e l'equazione della circonferenza è completa. Per ricavarlo bisogna sfruttare il seguente teorema: una retta passante per un punto di una circonferenza è tangente ad essa se e solo se la distanza tra la retta e il centro della circonferenza coincide con il raggio.

In altre parole, il raggio della circonferenza C coincide con la distanza tra C e la retta r.

R = dist(C,r)

Usiamo la formula della distanza punto-retta

dist(C,r) = (|ax_(C)+by_(C)+c|)/(√(a^2+b^2))

dove a,b,c sono i coefficienti dell'equazione della bisettrice espressa in forma implicita

r: x-y = 0 → a = 1, b = -1, c = 0

mentre x_C,y_C sono le coordinate del centro

dist(C,r) = (|1·2-1·1+0|)/(√(1^2+(-1)^2)) = (1)/(√(2))

e concludiamo che il raggio della circonferenza è R = (1)/(√(2)).

L'equazione di mathrmC è, quindi:

mathrmC: (x-2)^2+(y-1)^2 = ((1)/(√(2)))^2 ; mathrmC: (x-2)^(2)+(y-1)^2 = (1)/(2)


Centro e raggio della circonferenza corrispondente in omotetia

Per ricavare il centro e il raggio della circonferenza mathrmC' corrispondente a mathrmC, mediante un'omotetia di centro C_O(x_(C_O),y_(C_O)) = (2,2) e rapporto di dilatazione k = 2, conviene determinare la trasformazione che associa al punto (x,y) l'immagine (x',y')

x'= k(x-x_(C_O))+x_(C_0) ; y'= k(y-y_(C_0))+y_(C_0) → x'= 2(x-2)+2 ; y'= 2(y-2)+2

Usiamola per esprimere x,y in termini di x',y'

x = (x'-2)/(2)+2 = (x'+2)/(2) ; y = (y'-2)/(2)+2 = (y'+2)/(2)

Sostituiamo x = (x'+2)/(2), y = (y'+2)/(2) nell'equazione di mathrmC per ricavare quella di mathmrC'

mathrmC': ((x'+2)/(2)-2)^(2)+((y'+2)/(2)-1)^2 = (1)/(2) ; mathrmC': ((x'-2)/(2))^2+((y')/(2))^2 = (1)/(2) ; mathrmC': ((x'-2)^2)/(4)+(y'^2)/(4) = (1)/(2)

Moltiplicando i due membri per 4, l'equazione diventa

mathrmC': (x'-2)^2+y'^2 = 2

da cui ricaviamo che il centro e il raggio della circonferenza valgono rispettivamente

C'(x_(C'),y_(C')) = (2,0) ; R = √(2)

Abbiamo finito!
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit
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Os