Taglio di parabola con una retta.

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Taglio di parabola con una retta. #9948

avt
Riccardo
Punto
Buongiorno, non so come risolvere un esercizio sul taglio di una retta con una parabola. Scrivo il testo:

E' data la parabola y = \frac{4}{9} x^2 + \frac{8}{3} x. Si tagli l'arco di parabola del primo quadrante con una retta x = k in modo che il punto d'intersezione sia un vertice del rettangolo inscritto nel segmento parabolico con un lato sull'asse x. Si trovi k in modo che il perimetro di tale rettangolo sia massimo.

Grazie ancora!
 
 

Re: Taglio di parabola con una retta. #9957

avt
Omega
Amministratore
Ciao Riccardo! emt

Consideriamo la parabola (click per le formule)

y=\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{3}x

e mettiamone l'equazione della parabola a sistema con l'equazione della generica retta orizzontale y=k, ricavando l'equazione

\frac{4}{9}x^2+\frac{8}{3}x-k=0

Calcoliamo le soluzioni:

x_{1,2}=\frac{-\frac{8}{3}\pm\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{16}{9}k}}{\frac{8}{9}}

Possiamo scriverle in una forma un po' migliore, con un po' di smanettamento algebrico

x_{1,2}=-3\pm\frac{3}{2}\sqrt{4+k}

Da qui si vede che l'ordinata che individua la retta orizzontale y=k va presa con la limitazione: -4<k<0, perché da una parte dobbiamo garantire che vi sia almeno una intersezione con la parabola (k>-4) dall'altra la retta deve trovarsi tra il vertice della parabola e l'asse delle x.

Calcoliamo la lunghezza della base del rettangolo, in dipendenza dal parametro k:

b=|x_2-x_1|=3\sqrt{4+k}

Per determinare l'altezza, ci basta individuare la generica ordinata di uno dei due punti di intersezione tra retta e parabola: per farlo, è sufficiente osservare che la retta ha equazione y=k, quindi basta prendere

h=|k|

(ricordando che h è la misura di un segmento, quindi deve essere positivo).

Scriviamo la funzione che esprime il valore del perimetro in dipendenza da k:

f(k)=2|k|+2\cdot 3\sqrt{4+k}

dato che lavoriamo sull'intervallo -4<k<0, possiamo scrivere -k anziché -k

f(k)=-2k+6\sqrt{4+k}

Calcoliamo la derivata prima di tale funzione:

f'(k)=-2+\frac{6}{2\sqrt{4+k}}

f'(k)=-2+\frac{3}{\sqrt{4+k}}

f'(k)=\frac{3-2\sqrt{4+k}}{\sqrt{4+k}}

e studiamone il segno: imponiamo la disequazione

f'(k)\geq 0

\frac{3-2\sqrt{4+k}}{\sqrt{4+k}}\geq 0

Il denominatore è una quantità sempre positiva sull'intervallo (-4,0) a estremi esclusi, quindi possiamo limitarci a risolvere

3-2\sqrt{4+k}\geq 0

2\sqrt{4+k}\leq 3

Eleviamo entrambi i membri al quadrato

4(4+k)\leq 9

k\leq -\frac{7}{4}

Tale risultato ci dice che la funzione perimetro è crescente per k\in \left(-4,-\frac{7}{4}\right) e decrescente per k\in\left(-\frac{7}{4},0\right). Abbiamo dunque un valore massimo di perimetro per k=-\frac{7}{4}, valore per il quale risulta che

2p=f\left(-\frac{7}{4}\right)=\frac{28}{3}
Ringraziano: Pi Greco

Re: Taglio di parabola con una retta. #9958

avt
Riccardo
Punto
Grazie....ma per tua esperienza...sono problemi nella norma per una terza liceo scientifico tecnologico, oppure sono sul + difficile....?


R.

Re: Taglio di parabola con una retta. #9993

avt
Omega
Amministratore
Perdona il ritardo con cui ti rispondo, ma ogni pomeriggio sono impegnato nella sezione Facci la tua domanda emt

Cosa penso, onestamente? Questo non è affatto un esercizio da triennio...questo tipo di esercizi in cui si richiede di minimizzare/massimizzare una funzione come perimetro o area sono tipici della pre-pre-pre-preparazione (neologismo inventato sul momento emt ) in vista della maturità, perché richiedono l'utilizzo di svariati strumenti acquisiti nel corso degli anni del liceo: dai risultati di geometria analitica tipici del triennio alle derivate e lo studio della monotonia che si intraprende al quinto anno del liceo.

Tutte queste mie considerazioni, però, prendile con le pinze: altrettanto onestamente ti dico che sul momento non mi ricordo se al terzo anno venissero presentati o meno dei metodi per risolvere questo tipo di esercizi...ti hanno spiegato un qualche metodo che non richiede la conoscenza delle derivate per determinare i massimi e i minimi?
Ringraziano: Pi Greco
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Os