Data la circonferenza trovare le rette condotte che intercettano la circonferenza formando corde

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Data la circonferenza trovare le rette condotte che intercettano la circonferenza formando corde #9939

avt
Riccardo
Punto
Mi aiutate a risolvere questo problema? Devo trovare le rette che individuano corde di una certa lunghezza su una circonferenza.

E' data la circonferenza x^2 + y^2 +4x - 2y - 8 =0. Trovare le rette condotte dal punto A (4;3) che intercettano la circonferenza formando corde di lunghezza 6.
Grazie mille!
 
 

Re: Data la circonferenza trovare le rette condotte che intercettano la circonferenza formando corde #9944

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Riccardo! benvenuto nel forum di YouMath emt

Vediamo di risolvere il tuo problema. Un modo di procedere è il seguente:

Calcoliamo il raggio e le coordinate del centro della circonferenza data (qui trovi tutte le formule della circonferenza)

r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}=\frac{1}{2}\sqrt{16+4+32}=\frac{2}{2}\sqrt{13}= \sqrt{13}

Il centro C ha coordinate:

C\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}\right)=(-2, 1)

Calcoliamo la distanza D tra il centro e una generica corda di lunghezza l=6, utilizzando il teorema di Pitagora avente per cateti la distanza tra il centro e la corda, e metà della corda, ovviamente l'ipotenusa ha lunghezza pari a quella del raggio.

D= \sqrt{r^2- \left(\frac{l}{2}\right)^2}=

D= \sqrt{13-9}= \sqrt{4}=2

D rappresenta la distanza tra le altre cose la distanza tra le rette passanti per P e che formano le corde di lunghezza 6.

A questo punto scriviamo il fascio di rette passanti per P:

f: y=m(x-4)+3\implies mx -y+ 3-4m=0

A questo punto dobbiamo imporre che la distanza tra la generica retta del fascio e il centro sia esattamente uguale a 2: usiamo la formula per la distanza di un punto da una retta

dist(f, C)=\frac{|-2m -1+3-4m|}{\sqrt{m^2+1}}= 2

Da cui:

|-6m +2|= 2\sqrt{m^2+1}

Elevando membro a membro al quadrato otteniamo:

(-6m+2)^2=4(m^2+1)

36m^2+4- 24m- 4m^2-4=0

32m^2 - 24m= 0

Risolvendo l'equazione otterremo i coefficienti angolari delle rette che intersecando la circonferenza generano le corde di lunghezza desiderata.

32m^2 - 24m= 0\iff 8m(4m- 3)=0

Le soluzioni sono date da:

m_1=0

m_2= \frac{3}{4}

Le rette pertanto saranno:

y=3

e

y= \frac{3}{4}(x-4)+3\implies y=\frac{3}{4}x
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Riccardo

Re: Data la circonferenza trovare le rette condotte che intercettano la circonferenza formando corde #9945

avt
Riccardo
Punto
Grazie mille!!
Avrei anche un altro problema, che vale sempre 4 punti. Apro un topic nuovo!

Re: Data la circonferenza trovare le rette condotte che intercettano la circonferenza formando corde #9947

avt
Ifrit
Amministratore
Quali punti? emt emt

Apri un nuovo topic gentilmente emt
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os