Perimetro massimo e minimo di un rettangolo in una parabola

Ciao ragazzi avrei un problema sui rettangoli inscritti in una parabola, in cui devo trovare quello di perimetro minimo e massimo.

Se potete aiutarmi vi ringrazio.

Determinare i rettangoli di massimo e di minimo perimetro tra tutti quelli inscritti nella parte di piano limitata dalla parabola y= -x^2 + 6x e dell'asse x.

Grazie in anticipo!

[Edit]

Esaminiamo la parabola: ha vertice in V(3;9), intersezione con gli assi nei punti (0;0) e (6;0). Il grafico è il seguente:



Poniamo pari a x l’ascissa dei punti a sinistra. Avremo 0<x<3 (x=3 è l’equazione dell’asse)

Agli estremi avremo due rettangoli degeneri, in particolare

• per x=0 avremo un rettangolo di base 6 e altezza 0, perimetro 12
• per x=3 avremo un rettangol di base 0 ed altezza 9, perimetro 18

per le altre x base ed altezza sarà
h=-x2+6x
b=2(3-x)
per la base si è sfruttato l’asse di simmetria

Si noti che nei limiti imposti alle x non occorrono moduli perché le espressioni per base ed altezza sono positive.
Il perimetro è 2p =2(6-2x+6x-x2)=2(-x2+4x+6)
La cui derivata è 4(2-x)
Per cui il perimetro è crescente per 0<x<2, decrescente per 2<x<3

Quindi il perimetro è massimo per x=2 (perimetro pari a 20) è minimo nei casi limite (rettangoli degeneri) studiati in precedenza.

Ciao Dany94, vediamo subito come risolvere questo problema..

Il perimetro di un rettangolo è definito dalla somma del doppio della base con il doppio della altezza; una delle basi si trova banalmente sull'asse delle .. in particolare nell'intervallo compreso tra i due estremi della parabola.
Sappiamo infatti che quest'ultima interseca l'asse delle quando


Abbiamo pertanto già una bellissima condizione per i punti che possiamo prendere sull'asse delle : essi potranno essere compresi solo tra questi due valori!

Presi due punti sull'asse delle , nell'intervallo consentito, definiamo la base del rettangolo come


Non è stato molto difficile Adesso dobbiamo definire l'altezza del rettangolo; individuata la base non è difficile farlo perché è sufficiente prendere l'ascissa della parabola in corrispondenza di uno dei due punti che individuano la base stessa.
Vanno bene entrambi perché una condizione, derivante dal rettangolo e che sfrutteremo tra poco, ci dice che i due punti devono essere simmetrici rispetto al centro del segmento formato dagli estremi della parabola. Si ha perciò


Come promesso sfruttiamo la proprietà della simmetria la quale ci dice che preso come punto di ascissa minore


Andando a sostituire sopra ci troviamo che la base si può definire come


Definiamo dunque il perimetro della figura geometrica come


Definiamo quindi una nuova funzione che cambia il segno dell'argomento del modulo a seconda della ..


Oltre a trovare i punti in cui si annulla la derivata della funzione dovremo valutare la funzione negli estremi; prima di tutto però deriviamo al funzione..


La prima derivata si annulla in corrispondenza di mentre la seconda derivata in corrispondenza di ; vediamo quanto vale la funzione in questi due punti:



Perfetto! Adesso valutiamola agli estremi




Che cosa vuol dire? Che il perimetro è minimo quando o ( che individuano lo stesso rettangolo ) ed è massimo quando ed ( di nuovo lo stesso rettangolo ).

E' tutto chiaro ?

Consideriamo l'equazione della parabola



Ci torneranno utili l'insieme intersezione tra la parabola e l'asse delle ascisse, determiniamole!



Risolvere il sistema equivale a trovare le soluzioni della equazione:



Andremo a calcolare l'asse di simmetria dato dalla equazione:



Grazie alla simmetria della parabola, possiamo lavorare nell'intervallo:



Osservazione: Per questioni geometriche, considero questo escludendo gli estremi.

Al variare di , definisco la funzione




Questa funzione rappresenta la lunghezza della base del rettangolo inscritto nella parabola.

Nota: Il motivo per il quale ho escluso 3 dall'intervallo è che per tale valore la base risulterebbe di lunghezza nulla, e conseguentemente non sarà possibile costruire il rettangolo.

In funzione di x si definisce anche l'altezza,



Nota: Ho escluso lo 0 perché per tale valore l'altezza risulterebbe zero, e quindi non potremmo costruire il rettangolo.

Il perimetro del rettangolo inscritto sarà quindi:





Osserviamo che la funzione descrive una parabola concava con massimo nel vertice di coordinate:



• rappresenta il punto di massimo

• è il massimo perimetro di tutti i rettangoli inscritti nella parabola.

• Non esiste alcun rettangolo nel senso canonico del termine che realizza il minimo

Perché considerate il "rettangolo" che ha una dimensione nulla un rettangolo?

Ciao Ifrit ! Da quella che è la mia esperienza alle superiori, so che si tiene in considerazione anche il caso di degenere perché, anche se non è più propriamente un rettangolo, è un segmento che è degenerato da quest'ultimo.

Poi dipenderà anche dalla sensibilità dell'insegnante, ma di solito i libri delle superiori ( almeno quei pochi che ho visto ) in questo genere di esercizi analizzano soprattutto i casi degeneri senza aver nella traccia specificato alcunché.

Per il resto non so che altro dirti .. non credo ci sia una ragione precisa di questa scelta da parte di libri e/o prof .. magari qualcuno ci saprà dire di più !

Ti ringrazio frank094. Tutto chiaro