Trovare l'ellisse che ha per asse maggiore la corda di una circonferenza

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Trovare l'ellisse che ha per asse maggiore la corda di una circonferenza #9731

avt
dav09
Punto
Non riesco a risolvere questo esercizio su ellisse e circonferenza, devo determinare un'ellisse avente come semiasse maggiore una corda staccata su una circonferenza. Eccolo, spero in un vostro aiuto...

Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-3;-1) e raggio 4. Determina l’equazione dell’ellisse che ha come asse maggiore la corda intercettata dalla circonferenza sull'asse delle ascisse ed un vertice di ordinata 1.

e vi ringrazio anticipatamente
 
 

Trovare l'ellisse che ha per asse maggiore la corda di una circonferenza #9756

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dav09 emt Ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario con tutte le formule della circonferenza e quelle dell'ellisse

Per determinare l'equazione della circonferenza di centro C=(-3,-1) e raggio 4, si fa riferimento all'equazione

(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

da cui si ricava

(x+3)^2+(y+1)^2=16

Per la corda individuata dalla circonferenza sull'asse delle ascisse, ci servono i due estremi che la determinano, cioè i punti di intersezione tra la circonferenza e l'asse delle ascisse. Basta risolvere il sistema

y=0

(x+3)^2+(y+1)^2=16

da cui ricaviamo

x^2+6x+9+1=16

x^6+6x-6=0

Calcoliamo le soluzioni di tale equazione con la formula del discriminante per le equazioni di secondo grado

x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+24}}{2}=\frac{-6\pm 2\sqrt{15}}{2}

Gli estremi della corda sono quindi

\left(\frac{-6- 2\sqrt{15}}{2},0\right)\mbox{ ; }\left(\frac{-6+ 2\sqrt{15}}{2},0\right)

e la corda ha lunghezza data da

L=|x_1-x_2|=2\sqrt{15}

Sappiamo dunque che il semiasse maggiore a dell'ellisse è dato da

a=\frac{L}{2}=\sqrt{15}

mentre il semiasse minore è, grazie alla condizione sul vertice

b=1

Possiamo quindi scrivere l'equazione dell'ellisse; per far sì che l'asse maggiore coincida con la corda individuata dalla circonferenza, dovremo richiedere che il centro dell'ellisse abbia la stessa ascissa del centro della circonferenza e ordinata nulla. Facendo riferimento alla generica equazione

\frac{(x-x_C)^2}{a^2}+\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

troviamo

\frac{(x+3)^2}{15}+y^2=1
Ringraziano: Pi Greco, frank094
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