Esercizio sulle rette tangenti alla parabola

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Esercizio sulle rette tangenti alla parabola #961

avt
Angela
Cerchio
Buonasera, ho un piccolo problemino con un esercizio di Matematica, riguardante la parabola e le rette tangenti a essa.

La traccia è questa: determinare la tangente alla parabola y=-x^2+4x+5 parallela alla retta 2x-y=0. Successivamente determinare la tangente alla parabola perpendicolare alla retta assegnata.

Grazie mille!
 
 

Esercizio sulle rette tangenti alla parabola #964

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Angela, benvenuta nel forum di YouMath!

Andiamo al problema: un modo per risolverlo è il seguente.

Scriviamo l'equazione della retta t: 2x-y=0 in forma canonica:

t: y= 2x

Ricordiamo ora che due rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:

In tal caso il fascio di rette parallele alla retta t è:

f: y= 2x+ k

con k parametro reale.

Consideriamo il sistema:

f\cap P=\begin{cases}y=-x^2+4x+5\\y=2x+k\end{cases}

Rappresenta i punti di intersezione tra il fascio (improprio) di rette e la parabola. A questo punto dobbiamo pretendere che il sistema ammetta un'unica soluzione, per la quale utilizzeremo il metodo di sostituzione.

Banalmente infatti:

2x+k=-x^2+4x+5\implies x^2-2x+(k-5)=0

Abbiamo così ricavato un'equazione di secondo grado. La condizione di tangenza impone la nullità del discriminante associato:

\Delta= 4-4(k-5)=0\implies 4(1-k+5)=0\implies 6-k=0\implies k=6

Dunque la retta tangente alla parabola è:

s: y=2x+6

A questo punto andiamo alla ricerca della equazione della retta, che chiamo r perpendicolare alla retta s.

La condizione di perpendicolarità tra rette dice che due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1.

Il coefficiente angolare della retta s è m_s= 2, dunque m_{r} deve soddisfare l'equazione:

m_s m_r= -1\implies 2 m_r= -1\implies m_r=-\frac{1}{2}

Ora costruiamo il fascio improprio di rette parallele a r

F: y=m_r x+h\implies y=-\frac{1}{2}x+h con h reale.

Impostiamo il sistema:

F\cap P=\begin{cases}y=-x^2+4x+5\\y=-\frac{1}{2} x+h\end{cases}

procediamo come prima:

-\frac{1}{2}x+h=-x^2+4x+5\implies -\frac{1}{2}x= -x^2+4x+5-h

Pertanto:

 -x= -2x^2+8x+10-2h\implies 2x^2-9x-10+2h=0

Imponiamo la condizione di tangenza, pretendendo che il discriminante associato alla equazione sia nullo:

\Delta= 81-4\cdot 2\cdot (2h-10)=0

Da cui h=\frac{161}{16}.

La retta r ha equazione:

r: y= -\frac{1}{2}x+\frac{161}{16}

FINE
Ringraziano: Omega, frank094, Angela, danying

Esercizio sulle rette tangenti alla parabola #965

avt
frank094
Maestro
Ciao Angela,

andiamo a vedere come risolvere questo problema di Geometria Analitica.

Dobbiamo essenzialmente trovare una retta tangente alla parabola data tale che sia parallela alla retta r.
Per fare ciò iniziamo con il prendere l'equazione di una retta generica:

t: y = mx + q

Sottoponiamo questa equazione alla prima condizione: parallela con la retta r. E' sufficiente ricavarsi il coefficiente angolare ( m ) della retta data e sostituirlo nella formula generale:

r: y = 2x

Ricondotta anch'essa nella forma generale y = mx + q ci dice immediatamente che: m = 2 e q = 0 .. andiamo a sostituire il primo valore alla retta t:

t: y = 2x + q

Per trovare il valore dell'altro parametro ( q ) dobbiamo mettere a sistema la parabola e la retta e risolvere l'equazione con incognita x:

Sistema \quad \rightarrow \quad \begin{cases}y = 2x + q, & \mbox{retta }  \\y = -x^{2} + 4x + 5,  & \mbox{parabola } \end{cases}

Sostituiamo la y della retta ( 2x + q ) a quella della parabola così da ottenere una equazione di secondo grado:

2x + q = - x^{2} + 4x + 5

x^{2} - 2x + q - 5 = 0

Calcoliamo il delta ( che ci viene in funzione del parametro q ):

\triangle = 4 - 4(q - 5) = 4 - 4q + 20 = 24 - 4q

Adesso imponiamo la condizione di tangenza ( delta = 0 ):

\triangle = 0 \quad \rightarrow \quad 24 - 4q = 0 \quad \rightarrow \quad q = 6


La retta cercata è dunque:

y = 2x + 6


------------------------------------

Per la retta perpendicolare, il discorso è uguale .. cambia solo il coefficiente angolare da calcolare all'inizio: la condizione di perpendicolarità ci dice infatti che:

\\ m \cdot m_1 = -1\\ \\ 2 \cdot m_1 = -1\\ \\ m_1 = - \frac{1}{2}

Andiamo a sostituire questo valore alla retta generica t:

t: y = - \frac{x}{2} + q

Di nuovo mettiamo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della parabola per determinare il parametro q:

Sistema \quad \rightarrow \quad \begin{cases}y = - \frac{x}{2} + q, & \mbox{retta }  \\y = -x^{2} + 4x + 5,  & \mbox{parabola } \end{cases}

Di nuovo dobbiamo risolvere un'equazione di secondo grado:

\\ - \frac{x}{2} + q = - x^{2} + 4x + 5\\ \\ - x + 2q = - 2x^{2} + 8x + 10\\ \\ 2x^{2} - 9x + 2q - 10 = 0

Calcoliamo il delta e poniamolo uguale a zero per la condizione di tangenza:

\triangle = 81 - 8(2q - 10) = 81 - 16q + 80 = 161 - 16q

\triangle = 0 \quad \rightarrow \quad q = \frac{161}{16}

La retta è dunque:

y = -\frac{x}{2} + \frac{161}{16}

Hai qualche dubbio circa la risoluzione?
Ringraziano: Omega, Ifrit, Angela

Esercizio sulle rette tangenti alla parabola #992

avt
Angela
Cerchio
Tutto chiaro, grazie!
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Os