Punto su una parabola e area massima di un triangolo

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Punto su una parabola e area massima di un triangolo #9498

avt
Dany94
Punto
Ciao, mi spieghereste come risolvere questo problema sull'area massima di un triangolo in una parabola? emt

In un sistema di assi cartesiani ortogonali è data la parabola di equazione y= - x^2 + 4x. Detto V il vertice della parabola, determinare sull'arco OV un punto A in modo che sia massima l'area del triangolo OAV.

Grazie mille! emt
 
 

Punto su una parabola e area massima di un triangolo #9501

avt
frank094
Maestro
Ciao Dany94, vediamo subito come risolvere.. La prossima volta, però, scegli un titolo più esemplificativo per la discussione emt ..

La prima cosa da fare è quella di ricavarci le coordinate del vertice V della parabola (click per le formule); facciamo per questo riferimento alla formula che ci da l'ascissa:

x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{4}{-2} = 2

Andiamo a sostituire tale valore all'equazione della parabola per ricavarci anche l'ordinata..

y_v = - x_v^2 + 4x_v = 4 \implies V = (2, 4)

A questo punto dobbiamo ricavarci una formula per l'area del triangolo; possiamo considerare il lato \overline{OV} come base perché noto .. in tal modo ci dovremo solo ricavare l'altezza facendo la distanza punto-retta tra A e la retta passante per gli altri due vertici.

Calcoliamo la misura del lato OV con la formula della distanza tra due punti

\overline{OV} = \sqrt{(x_v -x_0)^2 + (y_v - y_0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}= 2\sqrt{5}

Ed è fatta! Non che il lato ci serve funzionalmente al problema ma sarà piuttosto interessante vedere quanto vale questa area massima.
Calcoliamo a questo punto la retta r passante per i due punti O e V.. troviamo che

m_r = \frac{4}{2}=2

Di qui si trova che la retta è

r: y - 2x = 0

Invece il generico punto della parabola si può scrivere come

A = (x, -x^2 + 4x)

perciò troviamo che la distanza punto-retta è

h = \frac{|-x^2 + 4x -2x|}{\sqrt{5}}

Poiché l'area è direttamente proporzionale alla altezza h, dobbiamo fare in modo che questa sia massima.

h = \frac{|-x^2 + 2x|}{\sqrt{5}}

Il termine nel valore assoluto è massimo nel vertice della parabola rappresentata, perciò si ha che

V_{-x^2 + 2x} = (1, 1)

Da cui si ottiene che l'altezza massima si ha in corrispondenza di x=1 e questa vale

h = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Il punto A in tale caso ha ascissa 1 e ordinata 3.. l'area invece vale

A = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 2 \sqrt{5} =1

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

Punto su una parabola e area massima di un triangolo #9503

avt
Dany94
Punto
Ciao Frank094 grazie per avermi risposta! emt Avrei però delle domande emt ...innanzitutto il vertice l'ho calcolato in questo modo: Vx=-b/2a=1. Mentre Vy=-Delta/4a=2.
Il coefficiente angolare della retta che passa per O e V, come l'hai calcolato??
Una volta trovate le coordinate del punto, la prof vuole che l'area sia calcolata con la derivata prima..e quindi la parte finale non l'ho capita emt
Grazie ancora emt

Punto su una parabola e area massima di un triangolo #9505

avt
frank094
Maestro
Vediamo subito emt ! L'equazione della parabola è

y = -x^2 + 4x

Si ha quindi che a =  -1 e b = 4 .. andiamo a sostituire nella formula del vertice della parabola..

v_x = - \frac{4}{-1 \cdot 2} = 2

Per calcolarti l'ordinata non è necessario calcolare il delta ma è sufficiente andare a sostituire l'ordinata appena trovata nell'equazione della parabola.

Per quanto riguarda il coefficiente angolare ho semplicemente applicato la formula che ci dice che, dati i due punti A = (x_a, y_a) e B = (x_b, y_b) si ha che

m_{A,B} = \frac{y_b -y_a}{x_b - x_a}

Nel nostro caso un punto è l'origine ( quindi le coordinate sono nulle ) e l'altro il vertice della parabola sopra calcolato.

Ho calcolato il massimo senza fare uso della derivata prima perché a causa del 94 nel nick ho erroneamente supposto che facessi il quarto superiore emt .. vediamo subito.
Dobbiamo massimizzare l'altezza data dalla formula

h = \frac{|-x^2+ 2x|}{\sqrt{5}}

Poiché il denominatore è costante e a numeratore c'è un modulo, è sufficiente trovare il valore massimo della quantità che si trova all'interno di quest'ultimo .. in particolare

f(x) = -x^2 +2x

Deriviamo la funzione..

f'(x) = -2x + 2

Imponiamo la derivata prima uguale a zero per trovare il massimo di tale parabola..

f'(x) = 0 \implies -2x + 2 = 0 \implies x = 1

Giungendo così allo stesso risultato. Tieni conto che in una parabola il punto di massimo/minimo ( dipende da come è disposta la concavità ) rappresenta sempre l'ascissa del vertice perciò puoi calcolare il vertice trovando il punto che annulla la derivata prima e poi sostituirla nell'equazione della parabola per trovare l'ordinata.
E' semplicemente per risparmiare un po' di tempo con i calcoli .. ma non cambia assolutamente nulla.

E' tutto chiaro emt ?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

Punto su una parabola e area massima di un triangolo #9669

avt
Dany94
Punto
Siii grazieeeee ora è tutto chiaro !!! Grazie ancoraaa emt
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Os