Rappresentare le circonferenze di una curva con valori assoluti

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Rappresentare le circonferenze di una curva con valori assoluti #8211

avt
ely
Cerchio
Ciao ragazzi devo rappresentare graficamente le circonferenze di una curva descritte dalla seguente equazione:

x^2+y^2-4|x+1|-4|y+1| = 0

mi spiegate come fare? Grazie 1000!
 
 

Rappresentare le circonferenze di una curva con valori assoluti #9413

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ely, bentornata emt

Veniamo all'esercizio: abbiamo un'equazione che definisce un luogo di punti nel piano cartesiano

x^2+y^2-4|x+1|-4|y+1| = 0

L'idea per risolvere il problema e fornire una rappresentazione nel piano cartesiano di tale luogo di punti consiste nell'eliminare i valori assoluti: per farlo, dobbiamo distinguere a seconda del segno degli argomenti dei moduli stessi. Sono date 4 possibilità.


La prima:

x+1 ≥ 0 ∧ y+1 ≥ 0 vale a dire x ≥ -1 ∧ y ≥ -1

Alla luce di tali condizioni, l'equazione diventa

x^2+y^2-4(x+1)-4(y+1) = 0

x^2+y^2-4x-4-4y-4 = 0

Abbiamo a che fare con una circonferenza, dobbiamo solamente scriverla in una forma un po' più ordinata

x^2-4x+y^2-4y-8 = 0

e completare i quadrati, sommando e sottraendo opportune quantità in modo tale da ottenere gli sviluppi di due quadrati per i termini in x e y. Non è difficile capire quali: basta ragionare al contrario considerando i doppi prodotti, che poi sono i termini in x,y di grado 1.

x^2-4x+4-4+y^2-4y+4-4-8 = 0

x^2-4x+4+y^2-4y+4-16 = 0

(x-2)^2+(y-2)^2 = 16

Abbiamo quindi a che fare con la circonferenza di centro (2,2) e raggio 4. Di tale circonferenza, dobbiamo solamente rappresentare la parte che si trova nella regione di piano a destra della retta x = -1 e al di sopra della retta y = -1.



Negli altri tre casi, si procede in modo del tutto analogo.



La seconda possibilità:

x+1 ≥ 0 ∧ y+1 < 0 vale a dire x ≥ -1 ∧ y < -1

L'equazione diventa

x^2+y^2-4(x+1)-4[-(y+1)] = 0

da cui, svolgendo i calcoli e completando i quadrati, arriviamo all'equazione

(x-2)^2+(y+2)^2 = 16

ossia l'equazione della circonferenza di centro (2,-2) e raggio 4. Dobbiamo rappresentare solamente una porzione di tale circonferenza, in particolare quella che si trova nel quadrante individuato dalle condizioni x ≥ -1 ∧ y < -1.



Poi passiamo alla terza possibilità

x+1 < 0 ∧ y+1 ≥ 0 vale a dire x < -1 ∧ y ≥ -1

L'equazione diventa

x^2+y^2-4[-(x+1)]-4(y+1) = 0

da cui ricaviamo

(x+2)^2+(y-2)^2 = 16

ossia l'equazione della circonferenza di centro (-2,2) e raggio 4. Stesso discorso di prima: di tale circonferenza, disegniamo solamente la porzione che si trova nel quadrante individuato dalle condizioni x < -1 ∧ y ≥ -1.



Infine, dalla quarta

x+1 < 0 ∧ y+1 < 0 vale a dire x < -1 ∧ y < -1

ricaviamo l'equazione

(x+2)^2+(y+2)^2 = 16

che rappresenta la circonferenza di centro (-2,-2) e raggio 4, e che va rappresentata nella porzione di piano situata a sinistra della retta x = -1 e al di sotto della retta y = -1.


Se dovessi avere dubbi, non esitare a chiedere...emt
Ringraziano: Pi Greco, ely, Ifrit
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Os