Area di un triangolo con tre rette nel piano

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Area di un triangolo con tre rette nel piano #8201

avt
ruben96
Cerchio
Potete aiutarmi a risolvere questo problema sull'area di un triangolo nel piano cartesiano avendo le tre rette che ne individuano i vertici?

Date le rette y - x = 0,\  x + y - 3 = 0,\ x - 4y - 3 = 0, verifica che esse determino un triangolo rettangolo. Calcola poi l'area del triangolo.

Il risultato del libro dice: area = 15/4.


Dopo aver messo a sistema le equazioni e aver svolto i calcoli, tuttavia, non mi viene il risultato.
 
 

Area di un triangolo con tre rette nel piano #8204

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ruben96! emt

Consideriamo le rette

r:\mbox{ }y - x = 0

s:\mbox{ }x + y - 3 = 0

t:\mbox{ }x - 4y - 3 = 0

Mettendole a sistema a due a due troviamo i punti di intersezione individuati dalle rette, ovvero i vertici del triangolo

1) Il sistema tra r,s fornisce A=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)

2) Il sistema tra s,t fornisce B=\left(3,0\right)

3) Il sistema tra r,t fornisce C=\left(-1,-1\right)

Ora: per calcolare l'area del triangolo calcoliamo la distanza tra uno dei tre vertici, ad esempio B, dalla retta che individua il lato del triangolo ABC ad esso opposto, vale a dire r.

Questo ci fornirà l'altezza relativa al lato AC: usiamo la formula per la distanza punto retta

h=\frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

dove i coefficienti a,b,c si riferiscono alla retta r scritta nella forma ax+by+c=0, quindi

h=\frac{|-3+0+0|}{\sqrt{1+1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}

Calcoliamo la lunghezza della base AC con la solita formula della formula per la distanza tra due punti:

BC=\sqrt{\left(x_A-x_C\right)^2+\left(y_A-y_C\right)^2}

ovvero

BC=\sqrt{\left(\frac{3}{2}+1\right)^2+\left(\frac{3}{2}+1\right)^2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}

Ora ricorriamo alla formula per il calcolo dell'area di un triangolo

A_{rea}=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{15}{4}

ed ecco fatto! emt
Ringraziano: frank094, ruben96
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Os