Area di un triangolo con tre rette nel piano

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Area di un triangolo con tre rette nel piano #8201

avt
ruben96
Cerchio
Potete aiutarmi a risolvere questo problema sull'area di un triangolo nel piano cartesiano avendo le tre rette che ne individuano i vertici?

Date le rette y-x = 0, x+y-3 = 0, x-4y-3 = 0, verifica che esse determino un triangolo rettangolo. Calcola poi l'area del triangolo.

Il risultato del libro dice: area = 15/4.


Dopo aver messo a sistema le equazioni e aver svolto i calcoli, tuttavia, non mi viene il risultato.
 
 

Area di un triangolo con tre rette nel piano #8204

avt
Omega
Amministratore
Ciao Ruben96! emt

Consideriamo le rette

r: y-x = 0

s: x+y-3 = 0

t: x-4y-3 = 0

Mettendole a sistema a due a due troviamo i punti di intersezione individuati dalle rette, ovvero i vertici del triangolo

1) Il sistema tra r,s fornisce A = ((3)/(2),(3)/(2))

2) Il sistema tra s,t fornisce B = (3,0)

3) Il sistema tra r,t fornisce C = (-1,-1)

Ora: per calcolare l'area del triangolo calcoliamo la distanza tra uno dei tre vertici, ad esempio B, dalla retta che individua il lato del triangolo ABC ad esso opposto, vale a dire r.

Questo ci fornirà l'altezza relativa al lato AC: usiamo la formula per la distanza punto retta

h = (|ax_B+by_B+c|)/(√(a^2+b^2))

dove i coefficienti a,b,c si riferiscono alla retta r scritta nella forma ax+by+c = 0, quindi

h = (|-3+0+0|)/(√(1+1)) = (3)/(√(2))

Calcoliamo la lunghezza della base AC con la solita formula della formula per la distanza tra due punti:

BC = √((x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2)

ovvero

BC = √(((3)/(2)+1)^2+((3)/(2)+1)^2) = (5√(2))/(2)

Ora ricorriamo alla formula per il calcolo dell'area di un triangolo

A_(rea) = (BC·h)/(2) = (15)/(4)

ed ecco fatto! emt
Ringraziano: frank094, ruben96
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Os