Equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani

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Equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani #805

avt
michelle
Punto
Salve, in un esercizio devo calcolare l'equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani, di cui si sa che il centro si trova su una circonferenza.

Ecco il testo dell'esercizio:

scrivi l'equazione della circonferenza tangente a entrambi gli assi cartesiani e avente centro sulla retta di equazione x-2y-2=0.

Vi ringrazio! emt
Ringraziano: Lorena90
 
 

Equazione della circonferenza tangente agli assi cartesiani #807

avt
frank094
Maestro
Per risolvere questo quesito, è di fondamentale importanza porre grande attenzione all'informazione della tangenza con gli assi cartesiani, oltre a conoscere le formule della circonferenza.

La circonferenza è infatti il luogo geometrico dei punti equidistanti R da un centro C: questo vuol dire che gli assi, per l'ipotesi di tangenza, devono trovarsi ad una distanza C dal centro!

Prima di procedere però occorre fare anche un'altra considerazione: si trova su una retta di equazione nota .. questo vuol dire che possiamo esprimere la coordinata y in funzione di quella x.
Per fare ciò, è sufficiente ricavarci la y dall'equazione della retta:

r: x - 2y - 2 = 0

x - 2 = 2y

y = \frac{x - 2}{2}


A questo punto possiamo esprimere le coordinate del centro C come:

C (x, \frac{x - 2}{2})


------------------------

Per quanto detto precedentemente ora dobbiamo trovare la distanza tra C e i due assi cartesiani e solo dopo imporre l'uguaglianza tra queste due distanze ( per la definizione di circonferenza, come già detto precedentemente ).

Ricorda che la formula per trovare la distanza punto retta è la seguente:

D = \frac{ |ax_0 + by_0 + c| } {\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

con x0 e y0 coordinate del punto; a, b e c invece sono i coefficienti della x, delle y e il termine noto della retta.
Applichiamo quanto detto al nostro caso.

Distanza dall'asse x ( equazione y = 0 ):

D_{C, x} = \frac{ |0 + y_0 + 0| } {1} = |\frac{x - 2}{2}|

Distanza dall'asse y ( equazione x = 0 ):

D_{C, y} = \frac{ |x_0 + 0 + 0| } {1} = |x|

----------------

Imponiamo ora l'uguaglianza tra le due distanze trovate:

D_{C, x} = D_{C, y}

|\frac{x - 2}{2}| = |x|


Semplice equazione con i moduli che si risolve togliendo il modulo del secondo membro ( o del primo, non cambia nulla ) e applicando la definizione al primo ( o secondo ):

|\frac{x - 2}{2}| = x

\frac{x - 2}{2} = \pm x

x - 2 = \pm 2x


Adesso prendiamo prima il valore con il +

x - 2 = 2x \quad \rightarrow \quad x = - 2


e il valore con il -

x - 2 = - 2x \quad \rightarrow \quad x = \frac{2}{3}


-------------------

Trovati i due valori della x, possiamo trovarci i due centri andando a sostituire:

C_1 (-2, -2)

C_2 (\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})

Note le coordinate dei centri sono noti anche i raggi delle due circonferenze proprio per la tangenza:

R_1 = - 2

R_2 = \frac{2}{3}

L'equazione della circonferenza, noto il raggio e il centro è

(x - x_0)^{2} + (y - y_0)^{2} = R^{2}

Nel nostro caso

\lambda_1: (x + 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4

\lambda_2: (x - \frac{2}{3})^{2} + (y + \frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}



Tutto chiaro? emt
Ringraziano: Omega
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Os