Triangolo e rette tangenti a una circonferenza, esercizio

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Triangolo e rette tangenti a una circonferenza, esercizio #804

avt
michelle
Punto
Ciao Ragazzi emt avrei bisogno di una mano con un esercizio su un triangolo formato dalle rette tangenti a una circonferenza...

Considerata la circonferenza di equazione x^2+y^2-8x-6y=0, conduci la tangente t1 in O e le tangenti t2 e t3 uscenti dal punto (9;18).

Di che natura è il triangolo individuato dalle tre tangenti?

Grazie mille
 
 

Triangolo e rette tangenti a una circonferenza, esercizio #809

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Michelle! Iniziamo subito emt

Poiché la retta t_1 passa per l'origine degli assi, essa ha una forma "particolare", il suo termine noto infatti è zero. t_1 è quindi descritta dalla generica equazione:

t_1: y=m_1 x


Imponiamo ora il sistema di equazioni:

\Gamma\cap t_1=\begin{cases} x^2 + y^2-8x-6y = 0\\y = m_1 x\end{cases}


Geometricamente questo sistema descrive i punti in cui la retta t_1 e la circonferenza \Gamma (da leggere Gamma) si intersecano.


Procediamo per sostituzione. Dalla seconda equazione, ti accorgi che y è uguale a m_1x. Sostituisci questo valore nella prima equazione, ad ogni occorrenza di y.

\Gamma\cap t_1=\begin{cases} x^2 + (m_1 x)^2-8x-6 m_1 x = 0\\y = m_1 x\end{cases}


Effettua un raccoglimento parziale:

\Gamma\cap t_1=\begin{cases}  (1+ m_1^2) x^2-(8+6 m_1) x = 0\\y = m_1 x\end{cases}


Poiché pretendiamo che la retta t_1 sia tangente alla circonferenza \Gamma è necessario richiedere che il discriminante associato alla equazione di secondo grado:

(1+ m_1^2) x^2-(8+6 m_1) x = 0


sia nullo:

\Delta= (8+6m_1)^2=0\iff (8+6m_1)= 0


da cui possiamo ottenere:

m_1= -\frac{4}{3}


t_1 ha equazione y= -\frac{4}{3}x

Adesso andiamo alla ricerca delle due rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(9,18)

Per fare ciò consideriamo il fascio di rette centrate in P:

f:y-18= m(x-9)\implies y= m(x-9)+18


Warning: Dal fascio di rette, viene esclusa la retta verticale x= 9, questa informazione ci verrà utile in seguito! emt

Impostiamo il sistema:

\Gamma\cap f=\begin{cases} x^2 + y^2-8x-6y = 0\\y = m(x-9)+18\end{cases}


come prima procediamo per sostituzione. Per alleggerire le notazioni lavoriamo solo con la prima equazione.

x^2 + (m(x-9)+18)^2-8x-6(m(x-9)+18) = 0


da cui si ottiene "facilmente" (dopo conti di una pallosità quasi snervante!) che:

216-270 m +81 m^2+(-8+30m-18m^2)x + (1+m^2)x^2=0


Associamo a questa equazione il suo discriminante e lo uguagliamo a zero, imponendo così la condizione di tangenza.

\Delta= (-8+30 m-18 m^2)^2-4(1+m^2)(216-270m +81 m^2)=0

Con mooooooolta pazienta ti invito a fare i conti... emt

Otterrai:

\Delta= 200 (-4+3m)=0\iff m= \frac{4}{3}


Dunque la retta t_2 ha equazione:

y= \frac{4}{3}(x-9)+18
.

Forza e coraggio!! Poiché il punto P non appartiene alla circonferenza e soprattutto è esterno alla circonferenza, allora da esso (P) devono necessariamente "scoccare" due tangenti. Dal fascio ne abbiamo trovata una, l'altra è senza dubbi (mai fidarsi) la retta verticale t_3 di equazione t_3: x=9.

Purtroppo per noi non abbiamo finito. A questo punto dovremmo determinare i punti di intersezioni (a due a due) delle rette appena trovate:

t_1\cap t_2=\begin{cases} y= -\frac{4}{3}x\\y= \frac{4}{3}(x-9)+18\end{cases}

Lo risolviamo per confronto:

 -\frac{4}{3}x= \frac{4}{3}(x-9)+18


da cui si ottiene il punto A=\left(-\frac{9}{4},3\right)

Dall'intersezione:

t_1\cap t_3=\begin{cases} y= -\frac{4}{3}x\\x= 9\end{cases}


Otteniamo il punto B=(9, -12)

Dall'intersezione:

t_2\cap t_3=\begin{cases} y= \frac{4}{3}(x-9)+18\\x= 9\end{cases}


Otteniamo il punto C= (9,18)


A questo punto dovresti calcolare la distanza tra i punti AB, BC CA, con la nota formula:

\mbox{dist}=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}


Riporto solo i valori:

AB= 75/4

BC= 30

CA= 75/4

Da questi risultati ti accorgi che il triangolo in questione è un triangolo isoscele....


Il problema più agghiacciante della storia :(
Ringraziano: Omega, Manila
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Os