Triangolo e rette tangenti a una circonferenza, esercizio

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#804
avt
michelle
Punto

Ciao Ragazzi emt avrei bisogno di una mano con un esercizio su un triangolo formato dalle rette tangenti a una circonferenza...

Considerata la circonferenza di equazione x^2+y^2-8x-6y=0, conduci la tangente t1 in O e le tangenti t2 e t3 uscenti dal punto (9;18).

Di che natura è il triangolo individuato dalle tre tangenti?

Grazie mille

#809
avt
Ifrit
Amministratore

Ciao Michelle! Iniziamo subito emt

Poiché la retta t_1 passa per l'origine degli assi, essa ha una forma "particolare", il suo termine noto infatti è zero. t_1 è quindi descritta dalla generica equazione:

t_1: y = m_1 x

Imponiamo ora il sistema di equazioni:

Γ ∩ t_1 = x^2+y^2−8x−6y = 0 ; y = m_1 x

Geometricamente questo sistema descrive i punti in cui la retta t_1 e la circonferenza Γ (da leggere Gamma) si intersecano.

Procediamo per sostituzione. Dalla seconda equazione, ti accorgi che y è uguale a m_1x. Sostituisci questo valore nella prima equazione, ad ogni occorrenza di y.

Γ ∩ t_1 = x^2+(m_1 x)^2−8x−6 m_1 x = 0 ; y = m_1 x

Effettua un raccoglimento parziale:

Γ ∩ t_1 = (1+m_1^2) x^2−(8+6 m_1) x = 0 ; y = m_1 x

Poiché pretendiamo che la retta t_1 sia tangente alla circonferenza Γ è necessario richiedere che il discriminante associato alla equazione di secondo grado:

(1+m_1^2) x^2−(8+6 m_1) x = 0

sia nullo:

Δ = (8+6m_1)^2 = 0 ⇔ (8+6m_1) = 0

da cui possiamo ottenere:

m_1 = −(4)/(3)

t_1 ha equazione y = −(4)/(3)x

Adesso andiamo alla ricerca delle due rette tangenti alla circonferenza uscenti dal punto P(9,18)

Per fare ciò consideriamo il fascio di rette centrate in P:

f:y−18 = m(x−9) ⇒ y = m(x−9)+18

Warning: Dal fascio di rette, viene esclusa la retta verticale x = 9, questa informazione ci verrà utile in seguito! emt

Impostiamo il sistema:

Γ ∩ f = x^2+y^2−8x−6y = 0 ; y = m(x−9)+18

come prima procediamo per sostituzione. Per alleggerire le notazioni lavoriamo solo con la prima equazione.

x^2+(m(x−9)+18)^2−8x−6(m(x−9)+18) = 0

da cui si ottiene "facilmente" (dopo conti di una pallosità quasi snervante!) che:

216−270 m+81 m^2+(−8+30m−18m^2)x+(1+m^2)x^2 = 0

Associamo a questa equazione il suo discriminante e lo uguagliamo a zero, imponendo così la condizione di tangenza.

Δ = (−8+30 m−18 m^2)^2−4(1+m^2)(216−270m+81 m^2) = 0

Con mooooooolta pazienta ti invito a fare i conti... emt

Otterrai:

Δ = 200 (−4+3m) = 0 ⇔ m = (4)/(3)

Dunque la retta t_2 ha equazione:

y = (4)/(3)(x−9)+18
.

Forza e coraggio!! Poiché il punto P non appartiene alla circonferenza e soprattutto è esterno alla circonferenza, allora da esso (P) devono necessariamente "scoccare" due tangenti. Dal fascio ne abbiamo trovata una, l'altra è senza dubbi (mai fidarsi) la retta verticale t_3 di equazione t_3: x = 9.

Purtroppo per noi non abbiamo finito. A questo punto dovremmo determinare i punti di intersezioni (a due a due) delle rette appena trovate:

t_1 ∩ t_2 = y = −(4)/(3)x ; y = (4)/(3)(x−9)+18

Lo risolviamo per confronto:

−(4)/(3)x = (4)/(3)(x−9)+18

da cui si ottiene il punto A = (−(9)/(4),3)

Dall'intersezione:

t_1 ∩ t_3 = y = −(4)/(3)x ; x = 9

Otteniamo il punto B = (9,−12)

Dall'intersezione:

t_2 ∩ t_3 = y = (4)/(3)(x−9)+18 ; x = 9

Otteniamo il punto C = (9,18)

A questo punto dovresti calcolare la distanza tra i punti AB, BC CA, con la nota formula:

dist = √((x_1−x_0)^2+(y_1−y_0)^2)

Riporto solo i valori:

AB= 75/4

BC= 30

CA= 75/4

Da questi risultati ti accorgi che il triangolo in questione è un triangolo isoscele....

Il problema più agghiacciante della storia :(

Ringraziano: Omega, Manila
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