Passaggio per ricavare equazione dell'ellisse

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Passaggio per ricavare equazione dell'ellisse #74428

avt
Chiò
Cerchio
Intanto ben tornati amici, vi confesso che mi siete mancati parecchio! Sto affrontando il procedimento per ricavare l'equazione canonica dell'ellisse:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Arrivato a questo passaggio è panico:

\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a

il mio libro dice che bisogna razionalizzare per giungere a

x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-2cx+x^2+c^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}

Vi giuro che non ho la più pallida idea di come gli venga fuori quello, razionalizzo da due ore ma non ci riesco proprio, potreste indicarmi i passaggi da fare?
Ringraziano: Omega
 
 

Passaggio per ricavare equazione dell'ellisse #74464

avt
Omega
Amministratore
Ciao Chiò,

sei sicuro che si tratti di una razionalizzazione? Personalmente non credo, tant'è che l'equazione nella seconda forma non risulta razionalizzata.

Stiamo parlando piuttosto di un elevamento al quadrato. emt

Per brevità chiamo \sqrt{M},\sqrt{N} le due radici (voglio che tu possa concentrarti sull'idea di base più che sul caso specifico), sicché abbiamo un'equazione del tipo

\sqrt{M}+\sqrt{N}=2a

Se stessimo razionalizzando dovremmo moltiplicare entrambi i membri per \sqrt{M}-\sqrt{N}, in modo da sfruttare la regola della differenza di quadrati

(\sqrt{M}+\sqrt{N})(\sqrt{M}-\sqrt{N})=2a(\sqrt{M}-\sqrt{N})

che darebbe

M-N=2a(\sqrt{M}-\sqrt{N})

e saremmo punto e a capo: avremmo ancora due radici, questa volta al secondo membro.


Ecco cosa ha fatto l'autore del tuo libro: ha considerato l'equazione nella forma originaria

\sqrt{M}+\sqrt{N}=2a

e l'ha riscritta come

\sqrt{M}=2a-\sqrt{N}

a questo punto ha elevato al quadrato entrambi i membri

M=(2a-\sqrt{N})^2

da cui

M=4a^2-2\cdot 2a\cdot \sqrt{N}+N

Non a caso sostituendo M=(x+c)^2+y^2 e N=(x-c)^2+y^2 ottieni proprio

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\cdot \sqrt{(x-c)^2+y^2}+[(x-c)^2+y^2]

che diventa

x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2-2cx+x^2+c^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}
Ringraziano: Chiò

Passaggio per ricavare equazione dell'ellisse #74473

avt
Chiò
Cerchio
Ciao Omega, ti ringrazio veramente per aver risposto, purtroppo il mio libro di testo non è nuovo agli errori, sicuramente ha sbagliato a scrivere il mio professore, e io che pensavo mi fossi rincretinito a non saper manco razionalizzare..

Stasera provo a rifare tutto lo svolgimento seguendo il tuo munifico suggerimento, ti faccio sapere emt
Ringraziano: Omega

Re: Passaggio per ricavare equazione dell'ellisse #74588

avt
Chiò
Cerchio
Omega tutto risolto, seguendo la strada da te indicatami sono riuscito a completare la dimostrazione, grazie ancora!
Ringraziano: Omega
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Os