Determinare una circonferenza del fascio che intercetta una corda avente punto medio di coordinate...

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Determinare una circonferenza del fascio che intercetta una corda avente punto medio di coordinate... #7348

avt
zorro
Punto
Sono in difficoltà con questo problema sul fascio di circonferenze e sul punto medio di una corda: per quali valori del parametro k la circonferenza di equazione

x^2+y^2-4kx+(k-3)y+3k-5 = 0

ha il punto medio della corda intercettata sull'asse x di coordinate (4,0) ?

Il risultato è k = 2.

I calcoli mi importano relativamente, più che altro mi interesserebbe il ragionamento. Grazie mille per l'attenzione
 
 

Determinare una circonferenza del fascio che intercetta una corda avente punto medio di coordinate... #7355

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Zorro benvenuto su YouMath! emt

Partendo dalla equazione del fascio di circonferenze:

x^2+y^2-4k x+(k-3)y+3k-5 = 0

Troviamo i punti di intersezione con l'asse X impostando il sistema:

x^2+y^2-4k x+(k-3)y+3k-5 = 0 equazione del fascio di circonferenze ; y = 0 equazione dell'asse X

Sostituiamo nella prima equazione y = 0, ottenendo:

x^2-4kx+3k-5 = 0

Abbiamo un'equazione di secondo grado che dipende da un parametro k. Troviamo le soluzioni al variare di k:

Δ = 16k^2-4(3k-5) = 4(4k^2-3k+5)

Nota che 4(4k^2-3k+5) > 0 ∀ k per mostrarlo è sufficiente affermare che il discriminante associato è minore di zero e il coefficiente direttore è positivo.

Troviamo le soluzioni:

x_1 = (4k-√(4(4k^2-3k+5)))/(2) =
= (4k-2√(4k^2-3k+5))/(2) = 2k-√(4k^2-3k+5)

x_2 = (4k+√(4(4k^2-3k+5)))/(2) =
= (4k+2√(4k^2-3k+5))/(2) = 2k+√(4k^2-3k+5)

Abbiamo ottenuto i punti:

A(x_1, 0), B(x_2, 0) e sono gli estremi della corda in questione

Il punto medio è dato da:

M((x_1+x_2)/(2), (y_1+y_2)/(2))

Ora:

(x_1+x_2)/(2) = (2k-√(4k^2-3k+5)+2k+√(4k^2-3k+5))/(2) = 2k

M(2k, 0)

Affinché il punto medio coincida con (4, 0)

dobbiamo imporre che le ascisse e le ordinate siano uguali, ottenendo l'unica equazione significativa:

2k = 4 ⇒ k = 2
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094, zorro, Pantofu

Re: Determinare una circonferenza del fascio che intercetta una corda avente punto medio di coordinate... #7442

avt
zorro
Punto
Grazie mille ora lo stampo e lo rifaccio da solo!!!
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Os