Equazione della parabola da fuoco e vertice

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Equazione della parabola da fuoco e vertice #73084

avt
SaraT
Punto
Ciao! Ho un problema nel determinare l'equazione della parabola e della direttrice dati fuoco e vertice:

Il fuoco di una parabola con vertice nell'origine ha coordinate (-2;0). Qual' è l'equazione della direttrice e l'equazione della parabola?

Risposta: x = 2 (equazione direttrice);

x = -\frac{1}{8} y^2 (equazione parabola)

Ho capito che si tratta di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x; quindi so che l'equazione è x = ay^2 + by + c e l'equazione della direttrice è

x=-\frac{1 + (b^2-4ac)}{4a}

Inoltre so che il vertice è nell'origine e che quindi avrà F (-2;0).

Dunque avevo provato a mettere a sistema le coordinate del fuoco eguagliate ai valori dati e l'equazione della direttrice ma non sono giunta a nessuna conclusione.

Come devo fare per risolvere questo esercizio?
Grazie emt
 
 

Equazione della parabola da fuoco e vertice #73097

avt
Galois
Amministratore
Ciao SaraT emt

Dobbiamo determinare l'equazione della parabola avente:

vertice nel punto V(0,0)

fuoco di coordinate F(-2,0)

Ora, come ben dici la parabola ha asse di simmetria parallelo all'asse x e quindi la nostra parabola ha equazione del tipo: (*)

x=ay^2+by+c

Ora, poiché il vertice della parabola è un suo punto, ne deve soddisfare l'equazione. Andando quindi a sostituire nell'equazione generale appena scritta le sue coordinate V(0,0) otterremo: c=0.

La nostra parabola avrà quindi equazione del tipo

x=ay^2+by

Inoltre una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x ha come vertice il punto di coordinate
.
V=\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)

Inoltre il fuoco della parabola sarà il punto

F=\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)

Conoscendo sia le coordinate del vertice che quelle del fuoco

V(0,0)

F(-2,0)

imporremo che sia

\begin{cases}-\frac{\Delta}{4a}=0 \\ -\frac{b}{2a}=0 \\ \frac{1-\Delta}{4a}=-2 \\ -\frac{b}{2a}=0 \end{cases}

Ora, la seconda e l'ultima condizione si ripetono, quindi possiamo tralasciarne una:

\begin{cases}-\frac{\Delta}{4a}=0 \\ -\frac{b}{2a}=0 \\ \frac{1-\Delta}{4a}=-2 \end{cases}

Osserviamo ora che, dalla prima equazione si ha subito:

\Delta=0

e dalla seconda

b=0

Andando a sostituire nella terza verrà fuori:

\frac{1-\Delta}{4a}=-2 \ \to \ \frac{1}{4a}=-2

da cui

8a=-1

e quindi

a=-\frac{1}{8}

L'equazione della nostra parabola sarà quindi:

x=ay^2+by+c

con

a=-\frac{1}{8}, \ b=0, \ c=0

ovvero

y=-\frac{1}{8}x^2

Per quanto riguarda l'equazione della direttrice della parabola basta ricordare che essa ha equazione:

y=-\frac{1+\Delta}{4a}

Avendo trovato

\Delta=0 \ \mbox{e} \ a=-\frac{1}{8}

andando a sostituire si avrà

y=-\frac{1}{4 \cdot \left(-\frac{1}{8}\right)}

ovvero (per com'è definita la frazione di frazione)

y=2

emt

Ti invito a dare un'occhiata alle lezioni che man mano ti ho linkato. In questo modo potrai approfondire e ripassare tutto quello che c'è da sapere sulla parabola emt

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(*) Ci tengo a precisare che saremmo potuti giungere direttamente alla conclusione che la nostra parabola ha equazione del tipo

x=ay^2

ed il motivo è presto detto.

Infatti l'asse di una parabola è la retta che passa sia per il fuoco che per il vertice. Essendo entrambi due punti appartenenti all'asse x, l'asse della nostra parabola è proprio l'asse delle ascisse e dunque la sua equazione è del tipo

x=ay^2

A questo punto, per trovare il valore del parametro a basta imporre l'ascissa del fuoco uguale a zero e la sua ordinata uguale a -2.
Ringraziano: Omega
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Os