Equazione di una circonferenza noti retta del centro, retta tangente e punto di tangenza

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Equazione di una circonferenza noti retta del centro, retta tangente e punto di tangenza #73044

avt
Byron23
Punto
Buonasera a tutti,

devo trovare una circonferenza sapendo che il suo centro è sull'asse y (x=0), e che è tangente alla retta di equazione: y=4x+13 nel punto A(-2,5).

Come tre condizioni io ho utilizzato:

- appartenenza del centro all'asse y, quindi a=0;

- appartenenza del punto A alla circonferenza;

- intersezione tra generica circonferenza e retta ponendo il delta=0

Secondo voi qual è il metodo migliore per risolvere questo esercizio? Sbaglio qualcosa?
 
 

Equazione di una circonferenza noti retta del centro, retta tangente e punto di tangenza #73048

avt
Galois
Amministratore
Ciao Byron23 emt

Perfetto! Quello che proponi va bene, rivediamolo un attimo mettendo bene a fuoco i concetti teorici che ci sono dietro.

L'equazione della circonferenza è un'equazione della forma

x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0

con il centro della circonferenza che ha coordinate

C\left(-\frac{\alpha}{2},-\frac{\beta}{2}\right)

Essendo in presenza di tre parametri abbiamo bisogno, per determinare l'equazione, di tre condizioni.

Poiché il centro appartiene all'asse y il quale ha equazione x=0 abbiamo che l'ascissa del centro è nulla ovvero

-\frac{\alpha}{2}=0

da cui

\alpha=0

L'equazione si riduce quindi a

(*) \ x^2+y^2+\beta y+\gamma=0

Ci mancano due parametri da trovare e quindi due condizioni.

Poiché il punto di tangenza appartiene alla circonferenza sostituiamo le coordinate del punto A(-2,5) nell'equazione generica (*) della circonferenza ottenendo così la seconda condizione.

La terza ed ultima condizione è quella di tangenza tra la circonferenza e la retta di equazione

y=4x+3

(vedi posizione tra retta e circonferenza)

Ovvero bisogna impostare il sistema

\begin{cases} x^2+y^2+\beta y+\gamma=0 \\ y=4x+3\end{cases}

sostituire il valore della seconda equazione nella prima ricadendo in un'equazione di secondo grado nella variabile x di cui poi, imporrai che il discriminante sia uguale a zero.

Questa sarà la terza condizione che messa a sistema con la seconda ci fornirà i valori dei parametri \beta \ \mbox{e} \ \gamma

emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, sbara98, nomeutentecasuale
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