Problema su rette e area del trapezio

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Problema su rette e area del trapezio #72208

avt
otto-core
Punto
Ciao ragazzi, ho un problema sulle rette e sull'area del trapezio che non riesco a risolvere anche se sembra a prima vista banale. Questo è il testo:

sia data le retta s di equazione x = 5. Sia inoltre t la retta di equazione y=mx+n passante per P(0, 4) e tale che m > 0.
Per quale m appartenente ai numeri reali l’area del trapezio formato dalle rette s,t,x,y vale 70?


Allora, quello che sono riuscito a fare è quello di trovare la distanza del punto P dall'origine che vale: OP=4.

Calcolo la distanza AO (la A è il punto di intersezione tra la retta s e l'asse delle x) ed ottengo AO=5.

Dopodiché io ho optato per trovare l'equazione della retta t con la formula

y - y_{P}  = m (x - x_{P})

e ricavo y = mx + 4.

Poi non so come proseguire, anche perché non sono sicuro di aver fatto tutto giusto.
Voi che mi consigliate di fare? Almeno sino a qui ho fatto bene o c'è qualcosa che no va?
 
 

Problema su rette e area del trapezio #72214

avt
Galois
Amministratore
Ciao otto-core emt

Innanzitutto ti invito, dalla prossima volta, a curare maggiormente l'esposizione del tuo post. Lascia qualche spazio in più e se vuoi utilizzare il codice LaTeX non ti dimenticare dei tags. Guarda ora com'è più ordinato emt

Detto questo veniamo a noi.

La prima parte del tuo svolgimento va bene. Poi ad un certo punto ti perdi. Che senso andare a trovare nuovamente l'equazione della retta t emt

Vediamo quindi come procedere.

Abbiamo le rette:

s: \ x=5

t: \ y=mx+n

il punto P(0,4) \in t

Sostituendo quindi le coordinate di tale punto alla retta t abbiamo:

4=0+n \to n=4

e quindi la sua equazione diventa:

t: \ y=mx+4

ovvero la sua intercetta sarà 4.

Poiché il trapezio è delimitato dalle rette r,s, dall'asse x e dall'asse y, abbiamo già le coordinate di 3 vertici del trapezio:

L'origine: O(0,0)

Il punto A= s \cap (\mbox{asse x}) = (5,0)

Il punto P(0,4)

L'altro punto (lo chiamo Q) sarà dato dall'intersezione tra le rette t ed s, ovvero:

Q: \begin{cases}y=mx+4 \\ x=5 \end{cases}

da cui: Q(5, \ 5m+4)

Ora il nostro trapezio, è un trapezio rettangolo. Ha per basi i lati:

OP=4 e AQ=|5m+4|

e per altezza

OA=5

Per trovare tali misure, come d'altronde hai fatto tu, ho applicato la formula della distanza tra due punti aventi stessa ascissa (o ordinata)

Pertanto, ci basta imporre che sia:

\mbox{Area Trapezio} = \frac{(OP+AQ) \cdot OA }{2} = 70

ovvero:

(4+|5m+4|)\cdot 5 = 140

da cui:

|5m+4|=24

equazione in valore assoluto che ci fornisce i due valori di m:

m=-\frac{28}{5} (che scartiamo perché il problema la richiede positiva)

ed m=4

che è il valore richiesto emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Problema su rette e area del trapezio #72298

avt
otto-core
Punto
Ciao Galois emt
Ti ringrazio per la risposta, sei stato molto chiaro però ci sono alcuni passaggi che non ho capito.
Allora io non capisco perchè la distanza {tex\}AQ{/tex\} si mette come valore assoluto.
Poi non ho capito bene il passaggio che hai fatto partendo dall'area del trapezio:

\mbox{Area Trapezio} = \frac{(OP+AQ) \cdot OA }{2} = 70

E sei arrivato a questo risultato

(4+|5m+4|)\cdot 5 = 140

da cui poi

|5m+4|=24


In poche parole hai portato il 2 al secondo membro, che così moltiplica il 70 Stessa cosa con il 5 che però divide, dico bene?
Mi potresti spiegare il perchè? E' solo per comodità, oppure è una regola?

Re: Problema su rette e area del trapezio #72303

avt
Galois
Amministratore
Rieccoci qua.

Se noti nella risposta ci sono vari link che non sono stati messi a caso. Ognuno di essi rimanda ad un argomento specifico che è bene approfondire se non si vogliono più avere dubbi.

Ad esempio, una volta individuato il punto

A(5,0),

scoperto che Q ha coordinate

Q(5, 5m+4)

e che AQ è una delle due basi del trapezio, se ne vogliamo trovare la misura dobbiamo ricorrere alla formula per la distanza tra due punti.

In generale se due punti hanno la stessa ascissa, la loro distanza è data dal valore assoluto della differenza delle ordinate. Ecco da dove vien fuori il valore assoluto in

AQ=|\underbrace{5m+4}_{y_Q}-\underbrace{0}_{y_A}|=|5m+4|

---------

Passiamo ora all'altra domanda. Una volta scritta la formula per l'area del trapezio (che sappiamo essere 70):

\mbox{Area Trapezio} = \frac{(OP+AQ) \cdot OA }{2} = 70

sostituiamo i valori trovati, così da avere:

\frac{(4+|5m+4|)\cdot 5}{2} = 70

A questo punto dobbiamo trovare il/i valori di m che soddisfano questa equazione. Dobbiamo quindi cercare di "isolarla".

Come prima cosa moltiplichiamo ambo i membri per 2 in modo da togliere il denominatore. Avremo allora

(4+|5m+4|)\cdot 5 = 140

A questo punto possiamo dividere ambo i membri per 5:

(4+|5m+4|) = 28

ed infine portare il 4 fuori dal valore assoluto a secondo membro così da ricadere in una semplicissima equazione con valore assoluto:

|5m+4| = 24

emt
Ringraziano: Omega, otto-core

Re: Problema su rette e area del trapezio #72305

avt
otto-core
Punto
Grazie mille emt
Adesso mi rileggerò passo per passo le lezioni con più attenzione emt
Ringraziano: Galois
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Os