Equazione di un fascio generato da due rette

Buongiorno, vorrei capire come si scrive l'equazione di un fascio generato da due rette.

Mi sto esercitando per Matematica visto che domani ho un compito su fasci di rette. Ora, leggendo il mio libro, ho trovato un esercizio che dice: scrivi l'equazione del fascio generato dalle rette

.

Il problema continua e so come risolverlo. Il mio dubbio è: come si trova l'equazione del fascio generato da due rette.

Sto andando in crisi, qualcuno mi aiuti appena può.

Ciao Lucrezia

Prima di raccontarti come procedere nella risoluzione dell'esercizio (facendo uno strappo alle regole dato che si tratta del tuo primo topic) devo avvisarti che ogni domanda deve essere accompagnata da un tentativo di risoluzione. Anche parziale, indipendentemente che sia giusto o sbagliato...basta che ci sia.

Ora veniamo a noi. Per scrivere l'equazione di un fascio di rette avendo due rette dobbiamo innanzitutto capire se le due rette sono parallele o incidenti.

Se ci troviamo dinnanzi a due rette parallele, allora esse generano un fascio improprio di rette; se invece ci troviamo di fronte a due rette incidenti, allora esse generano un fascio di rette proprio.

Scriviamo le due rette in forma esplicita (in caso di dubbi vedi equazione della retta)



Dato che le due rette hanno il medesimo coefficiente angolare, esse generano necessariamente un fascio improprio di rette.

In particolare tutte le rette del fascio condividono lo stesso coefficiente angolare . L'unico parametro variabile è l'ordinata all'origine . Questa semplice osservazione ci permette di scrivere al volo l'equazione del fascio, che sarà della forma



Tutto qui.


Per completezza, ti mostro il procedimento per ricavare l'equazione di un fascio di rette proprio, supponendo di lavorare con le rette



In un'eventualità del genere ci troviamo di fronte a due rette non parallele nel piano e dunque incidenti. Non dobbiamo fare altro che determinare il punto di intersezione mettendole a sistema



Abbiamo appena scritto un sistema lineare che possiamo risolvere col metodo di sostituzione. Sostituiamo l'espressione di della seconda equazione nella prima



essa diventa un'equazione di primo grado ad un'incognita che ammette come soluzione



Sostituiamo tale valore nella seconda equazione e ricaviamo la corrispondente ordinata



per cui il punto di intersezione tra le due rette è . Esso è in particolare il centro del fascio.

Dato che in un fascio proprio di rette l'unico parametro variabile è il coefficiente angolare, dobbiamo solo considerare l'equazione di una generica retta passante per un punto



e sostituire le coordinate del centro



considerando il coefficiente angolare come un parametro



che è l'equazione del fascio generato dalle rette .


A titolo di cronaca c'è un altro metodo per scrivere l'equazione del fascio generato da due rette incidenti, e consiste nel considerare un generico parametro reale e nello scrivere le equazioni in forma implicita



Fatto ciò è sufficiente considerare l'equazione definita come



dove assume il ruolo di retta esclusa.

***

È tutto. Ci tengo a sottolineare che la scrittura dell'equazione di un fascio avendo due rette generatrici non può prescindere da uno studio preventivo della posizione reciproca delle due rette.

Il parametro k lo metto sempre davanti alla seconda retta generatrice?

Comunque grazie mille per la spiegazione, davvero! Mi scuso se non ho inserito un tentativo di svolgimento dell'esercizio. Sono nuova e devo ancora imparare. Sicuramente non commetterò lo stesso ''sbaglio'' due volte

Prego

Il parametro lo puoi apporre indistintamente: tieni conto che in



puoi scegliere indifferentemente l'una o l'altra retta.

Questo perché, nella precedente scrittura, avrai sempre e comunque una retta esclusa dal fascio: esclusa nel senso che la precedente equazione non la individua, sia chiaro, essa comunque fa parte del fascio di rette.