Problema sulla funzione omografica con varie richieste

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Problema sulla funzione omografica con varie richieste #6827

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti domani ho il compito di Matematica sulle funzioni omografiche e la mia prof è nota x dare esercizi super difficili!

Potreste aiutarmi a risolvere questo problema visto che temo che ne metterà uno simile?

Si consideri la funzione omografica f_k di equazione:

y=\frac{(k-2)x+1}{(k+1)x+3}

a) determinare i punti per cui passano tutte le curve.

b) Disegnare la curva y=f_3(x) (corrispondente a k=3).

c) Scrivere l'equazione della tangente alla curva y=f_3(x) nel suo punto d'intersezione con l'asse y. Dedurre, per via grafica, la soluzione della disequazione

\frac{x+1}{4x+3}>-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}

d) Stabilire per quali valori del parametro a\in\mathbb{R} il punto P(a;2a-1) è interno alla regione illimitata di piano delimitata, nel 1° quadrante, dal grafico di y=f_3(x) e dal suo asintoto orizzontale.

Grazie!
 
 

Problema sulla funzione omografica con varie richieste #6854

avt
Omega
Amministratore
Ciao JhonnyR, ti vedo online e dato che domani hai la verifica ti voglio preparato emt Quindi sappi che sto per risponderti...

Problema sulla funzione omografica con varie richieste #6859

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo la funzione omografica dipendente dal parametro k (è una bella famigliuola)

y=\frac{(k-2)x+1}{(k+1)x+3}

a) determinare i punti per cui passano tutte le curve

Per determinare i punti comuni a tutte le curve del fascio, riscriviamo la funzione f_k{(x)} nella forma

(k+1)xy+3y=(k-2)x+1

ossia

kxy+xy+3y-(k-2)x-1=0

kxy+xy+3y-kx+2x-1=0

e raccogliamo rispetto ad k in modo da individuare le due generatrici

xy+3y+2x-1+k(xy-x)=0

Le due generatrici si ottengono per k=0

xy+3y+2x-1=0

vale a dire

y=\frac{1-2x}{x+3}

e per k\to +\infty

xy-x=0

vale a dire

y=+1

Ora individuiamo la retta dei punti base: per farlo dobbiamo annullare i termini di secondo grado nell'equazione

xy+3y+2x-1+k(xy-x)=0

Dobbiamo quindi prendere k=-1 e troviamo

xy+3y+2x-1-xy+x=0

da cui

3y+3x-1=0

che è la retta dei punti base del fascio. Riscriviamola nella forma

y=\frac{1-3x}{3}

Per trovare i punti per i quali passano tutte le curve del fascio mettiamo a sistema

\left\{\begin{matrix}y=\frac{1-3x}{3}\\ y=\frac{1-2x}{x+3}\end{matrix}

troviamo

\frac{1-3x}{3}=\frac{1-2x}{x+3}

ossia

(1-3x)(x+3)=3(1-2x)

x+3-3x^2-9x=3-6x

-3x^2-2x=0

che ha come soluzioni x=0\vee x=-\frac{2}{3}. Risostituendo nella prima delle due equazioni troviamo rispettivamente y=\frac{1}{3}\vee y=1

e i punti comuni a tutte le curve della famiglia sono

\left(0,\frac{1}{3}\right),\left(-\frac{2}{3},1\right)

b) Disegnare la curva y=f_3(x) (corrispondente a k=3)

Per k=3 abbiamo

y=\frac{x+1}{4x+3}

Per disegnarla, basta osservare che è un'iperbole equilatera. Una funzione omografica ha equazione generica

\frac{ax+b}{cx+d}

dato che nel nostro caso risulta che c\neq 0 e ad\neq bc, abbiamo proprio a che fare con un'iperbole equilatera con assi paralleli agli assi cartesiani. In particolare, gli assi si calcolano come

x=\frac{a}{d}

y=-\frac{d}{c}

e quindi nel nostro caso

x=-\frac{3}{4}

y=\frac{1}{4}

e mettiamocelo pure questo grafico!

image2995


c) Scrivere l'equazione della tangente alla curva y=f_3(x) nel suo punto d'intersezione con l'asse y. Dedurre, per via grafica, la soluzione della disequazione

\frac{x+1}{4x+3}>-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}


Per determinare la retta tangente, per prima cosa determiniamo il punto di intersezione di f_{3}(x) con l'asse delle ordinate, quindi risolviamo il sistema

y=\frac{x+1}{4x+3}

x=0

per cui troviamo come punto di intersezione \left(0,\frac{1}{3}\right). La retta tangente al grafico della funzione in tale punto si trova scrivendone l'equazione della retta generica

y=mx+q

imponendo il passaggio per il punto troviamo

q=\frac{1}{3}

A questo punto mettiamo a sistema l'equazione di tale retta con l'equazione della funzione, e richiediamo che il delta dell'equazione di secondo grado che ne risulta pari a zero (condizione di tangenza).

y=\frac{x+1}{4x+3}

y=mx+\frac{1}{3}

cioè

mx+\frac{1}{3}=\frac{x+1}{4x+3}

12mx^2+9mx+4x+3=3x+3

12mx^2+(9m+1)x=

Per fare sì che vi siano due soluzioni coincidenti, imponiamo

m=-\frac{1}{9}

cosicché la retta cercata ha equazione

y=-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}

Per dedurre le soluzioni della disequazione

\frac{x+1}{4x+3}>-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}

basta considerare le ascisse per le quali il grafico dell'iperbole equilatera si trova al di sopra del grafico della retta, dunque vediamo

x>-\frac{3}{4}

ad eccezione del punto x=0, in cui non vale la disuguaglianza stretta.

d) Stabilire per quali valori del parametro a\in\mathbb{R} il punto P(a;2a-1) è interno alla regione illimitata di piano delimitata, nel 1° quadrante, dal grafico di y=f_3(x) e dal suo asintoto orizzontale.

Il punto (a,2a-1) individua una retta, al variare di a, una retta della forma y=2a-1. Si tratta quindi di determinare i valori di a per i quali la retta y=2a-1 è compresa tra le rette y=\frac{1}{3} e la tangente y=-\frac{1}{9}x+\frac{1}{3}.

Per trovare i valori di a, è sufficiente risolvere la doppia disequazione (sistema)

\frac{1}{3}\leq 2a-1\leq \frac{x+1}{4x+3}

purtroppo sono sfinito! emt
Ringraziano: LittleMar, frank094, Ifrit, Fuivito, CarFaby
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