Studiare un fascio di funzioni omografiche

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Studiare un fascio di funzioni omografiche #65492

avt
guglielmo
Punto
Buongiorno! Vi scrivo perché è da un po' che provo a studiare un fascio di funzioni omografiche e che ci rifletto ma non riesco a venirne fuori!

Dopo aver studiato il fascio di curve di equazione

y=\frac{mx-m}{x+2m}

al variare di m \in \mathbb{R}, trova il luogo dei centri di simmetria.


Allora io avevo pensato di porre c\neq 0 e ab-bc\neq 0 in modo che potesse rappresentare una funzione omografica, solo che non ne sono sicuro perché dopo non saprei nemmeno come procedere!

Grazie mille per l'aiuto!
 
 

Studiare un fascio di funzioni omografiche #65513

avt
Galois
Amministratore
Ciao Guglielmo emt

Come hai ben intuito sei di fronte ad un fascio di funzioni omografiche.

Ora, apriti il formulario che ti ho appena linkato in una nuova scheda ed iniziamo emt

Una funzione omografica è una funzione del tipo:

y=\frac{ax+b}{cx+d}

Dove a,b,c,d\in\mathbb{R} sono costanti reali.

Noi abbiamo:

 y=\frac{mx-m}{x+2m}

con m parametro reale, ovvero, siamo di fronte ad una funzione omografica con:

a=m, \ b=-m, \ c=1, \ d=2m

Ora, se:

ad=bc, ovvero se 2m^2=-m siamo di fronte ad una retta orizzontale, quindi, se:

2m^2+m=0 \ \to \ m(2m+1)=0 \ \to \ m=0 \vee \ m=-\frac{1}{2}

Abbiamo due rette orizzontali le quali, ovviamente, non hanno centro di simmetria.

Se invece ad\neq bc, ovvero m\neq 0 \ \wedge \ m \neq -\frac{1}{2}

siamo di fronte ad un fascio di iperboli equilatere aventi centro di simmetria dato da:

\left(-\frac{d}{c}, \ \frac{a}{c}\right)=\left(-2m, \ m\right)

che sono tutti e soli i punti che descrivono la retta di equazione:

y=-2x

che sarà quindi il luogo geometrico dei centri di simmetria cercato emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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