Perimetro di un triangolo con i punti medi dei lati

Ciao ancora a tutti, eccomi qui con un problema sul perimetro di un triangolo con vertici i punti medi di un altro triangolo. Parto con la domanda:

Dati i punti A(-2;6), B(4;1), C(1;-3), calcolare il perimetro del triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati del triangolo ABC.


Io ho provato a svolgerlo, ma come risultato mi viene .

Mi sembra un risultato forse un po' strambo.
Vi ringrazio se potete controllare voi.
Grazie mille!

Ciao Jennifer24

Purtroppo se non posti i tuoi conti non posso confermare se il risultato che ottieni è giusto o sbagliato. Posso solo dirti il procedimento da seguire:

1) trova le coordinate del punto medio dei segmenti aventi come estremi le tre coppie di punti;

2) calcola la distanza tra i vari punti medi;

3) somma i risultati ottenuti al punto 2). Avrai così il perimetro del triangolo avente per vertici i punti medi dei lati del triangolo di partenza

Ecco come ho fatto.

Ho calcolato i segmenti:







E poi ho sommato per trovare il perimetro.

E quindi hai sbagliato

Leggi con attenzione il testo del problema:



Quindi devi seguire il mio procedimento per giungere alla corretta conclusione

Haha, perfetto.

Comunque, non ho ben capito come si calcolano i punti medi nel mio caso, cioè ho capito come fare, però ad esempio parlando del mio problema, per trovare il punto medio io faccio così:

ABm=\frac{-2+4}{2}

Ma è poi giusto?

Scusami, a te cosa viene come risultato, così una volta risolto so se ho proceduto correttamente.

Se leggi la mia prima risposta noterai che ci sono alcune parole in blu. Quelli sono dei link

Se ci clicchi sopra finirai nella lezione dove spiega come procedere

Ricorda che il punto medio di un segmento è, per l'appunto, un punto! E come tale sarà individuato da un'ascissa e da un'ordinata.

Supponendo di voler calcolare il punto medio del segmento avente per estremi i punti e , avremo:





Quindi il punto medio del segmento AB avrà coordinate:

Grazie, ho finalmente capito.
Ero un attimino confusa prima,...

Bene

Ora che la questione è chiara voglio segnalare un risultato:

Il perimetro del triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati del triangolo di partenza è uguale a metà del perimetro del triangolo di partenza.

Proviamo a dimostrarlo. Disegniamo un triangolo ABC e prendiamo i punti medi di due lati. Ad esempio:

M punto medio di AB ed N punto medio di BC

ed uniamoli.



Si verrà così a formare una retta MN che per il Teorema di Talete è parallela al lato AC.

Consideriamo ora i triangoli BMN e ABC che sono simili per il primo criterio di similitudine.

Infatti essi hanno:

- l'angolo in comune.

- gli angoli uguali in quanto angoli corrispondenti rispetto alle rette parallele MN ed AC tagliate dalla trasversale AB.

Allora, essendo simili, i lati sono in proporzione. Ovvero:



Ora in quanto, essendo M il punto medio di AB:

Ne segue che:



cioè AC è il doppio del segmento che unisce i punti medi degli altri due lati del triangolo di partenza.

Procedendo allo stesso modo con le altre due coppie di lati del triangolo ABC si giunge alla conclusione che:

ogni segmento che unisce i punti medi di due lati del triangolo è uguale alla metà dell'altro lato, ovvero:

Il perimetro del triangolo che ha per vertici i punti medi dei lati del triangolo di partenza è uguale a metà del perimetro del triangolo di partenza.

Morale della favola: se ormai hai calcolato il perimetro del triangolo ABC, il perimetro del nuovo triangolo sarà la metà di esso (ammesso che tu citi questo risultato)