Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio

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Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio #64406

avt
kikketta
Punto
Ciao, ho provato più volte a fare questo esercizio sull'equazione di una parabola a partire dalla direttrice e dalle coordinate di due punti di passaggio:

trova l'equazione della parabola avente per direttrice la retta di equazione y = -(17)/(4) e passante per i punti O(0, 0) e A(4,0).


L'equazione generica è y = ax^2+bx+c

Ho imposto il passaggio per i due punti O, A e

y = -(1+Δ)/(4a)

per la direttrice e ho messo tutto a sistema, come procedo?
 
 

Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio #64412

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kikketta emt

Per determinare l'equazione della parabola P il problema ci fornisce tre condizioni:

y = -(17)/(4) ; A(4,0)∈ P ; O(0,0)∈ P

Ci fornisce cioè l'equazione della retta direttrice e due punti della parabola stessa.

Poiché la retta direttrice è parallela all'asse x, allora l'equazione della parabola sarà:

y = a x^2+bx+c con a, b, c da determinare.

Per prima cosa imponiamo le condizioni di appartenenza:


(Ricorda: un punto generico Q è un punto della parabola se e solo se sostituendo le sue coordinate nell'equazione, quest'ultima è soddisfatta)

O(0,0)∈ P ⇔ a 0^2+b 0+c = 0 ⇒ c = 0

Otteniamo la prima equazione del sistema che ci permetterà di determinare esplicitamente a, b, c.

A(4,0)∈ P ⇔ 4^2a+4 b+c = 0 ⇔ 16 a+4 b+c = 0

Otteniamo la seconda equazione del sistema. Ora ricorda che l'equazione della retta direttrice della parabola è

y = -(1+b^2-4a c)/(4a)

Essa sarà uguale a -(17)/(4). Imponendo l'uguaglianza avremo la terza equazione:

-(1+b^2-4ac)/(4a) = -(17)/(4)

Impostiamo il sistema con le tre equazioni:

c = 0 ; 16 a+4 b+c = 0 ;-(1+b^2-4a c)/(4a) = -(17)/(4)

Dalla prima equazione abbiamo c=0, sostituiamo nella seconda e nella terza così da ottenere:

c = 0 ; 16 a+4 b = 0 ;-(1+b^2)/(4a) = -(17)/(4)


Dalla seconda equazione calcolo b:

16 a+4 b = 0 ⇒ b = -(16)/(4)a = -4a

Infine sostituisco nella terza il valore di b, ottenendo l'equazione:

-(1+16 a^2)/(4a) = -(17)/(4)

che è una equazione razionale fratta.

Cambiamo segno membro a membro:

(1+16 a^2)/(4a) = (17)/(4)

Moltiplichiamo membro a membro per 4a:

1+16 a^2 = 17 a

Portiamo tutto al primo membro:

16 a^2-17 a+1 = 0

Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado completa:

Il discriminante è Δ = (-17)^2-4·16·1 = 225

che è maggiore di zero, quindi l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte:

a = (17±√(225))/(32) = a = 1 ; a = (1)/(16)

Per a = 1 otteniamo le soluzioni:

b = -4 a = -4

c = 0

A cui associamo quindi l'equazione y = x^2-4x

Se a = (1)/(16) allora b = -4a = -(1)/(4) e c = 0

L'equazione in questo caso è:

y = (1)/(16)x^2-(1)/(4)x

Se hai dubbi... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, kikketta
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Os