Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio

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Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio #64406

avt
kikketta
Punto
Ciao, ho provato più volte a fare questo esercizio sull'equazione di una parabola a partire dalla direttrice e dalle coordinate di due punti di passaggio:

trova l'equazione della parabola avente per direttrice la retta di equazione y = -\frac{17}{4} e passante per i punti O(0, 0) e A(4,0).


L'equazione generica è y = ax^2+bx+c

Ho imposto il passaggio per i due punti O,\ A e

y=-\frac{1+\Delta }{4a}

per la direttrice e ho messo tutto a sistema, come procedo?
 
 

Parabola avendo direttrice e due punti di passaggio #64412

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao kikketta emt

Per determinare l'equazione della parabola P il problema ci fornisce tre condizioni:

\begin{cases}y= -\frac{17}{4}\\ A(4,0)\in P\\ O(0,0)\in P\end{cases}

Ci fornisce cioè l'equazione della retta direttrice e due punti della parabola stessa.

Poiché la retta direttrice è parallela all'asse x, allora l'equazione della parabola sarà:

y= a x^2+ bx+ c\mbox{ con }a, b, c\mbox{ da determinare. }

Per prima cosa imponiamo le condizioni di appartenenza:


(Ricorda: un punto generico Q è un punto della parabola se e solo se sostituendo le sue coordinate nell'equazione, quest'ultima è soddisfatta)

O(0,0)\in P\iff  a 0^2+ b 0+c= 0\implies c=0

Otteniamo la prima equazione del sistema che ci permetterà di determinare esplicitamente a, b, c.

A(4,0)\in P\iff  4^2a+4 b+c= 0\iff 16 a+ 4 b+c=0

Otteniamo la seconda equazione del sistema. Ora ricorda che l'equazione della retta direttrice della parabola è

y= -\frac{1+b^2- 4a c}{4a}

Essa sarà uguale a -\frac{17}{4}. Imponendo l'uguaglianza avremo la terza equazione:

-\frac{1+b^2-4ac}{4a}=-\frac{17}{4}

Impostiamo il sistema con le tre equazioni:

\begin{cases}c=0\\ 16 a+ 4 b+c=0\\ - \frac{1+b^2-4a c}{4a}= -\frac{17}{4}\end{cases}

Dalla prima equazione abbiamo c=0, sostituiamo nella seconda e nella terza così da ottenere:

\begin{cases}c=0\\ 16 a+ 4 b=0\\ - \frac{1+b^2}{4a}= -\frac{17}{4}\end{cases}


Dalla seconda equazione calcolo b:

16 a +4 b=0\implies b= - \frac{16}{4}a= -4a

Infine sostituisco nella terza il valore di b, ottenendo l'equazione:

-\frac{1+16 a^2}{4a}= -\frac{17}{4}

che è una equazione razionale fratta.

Cambiamo segno membro a membro:

\frac{1+16 a^2}{4a}= \frac{17}{4}

Moltiplichiamo membro a membro per 4a:

1+16 a^2= 17 a

Portiamo tutto al primo membro:

16 a^2- 17 a +1= 0

Abbiamo ottenuto un'equazione di secondo grado completa:

Il discriminante è \Delta= (-17)^2- 4\cdot 16\cdot 1= 225

che è maggiore di zero, quindi l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte:

a= \frac{17\pm \sqrt{225}}{32}= \begin{cases}a=1\\ a= \frac{1}{16}\end{cases}

Per a= 1 otteniamo le soluzioni:

b= -4 a= -4

c=0

A cui associamo quindi l'equazione y=x^2-4x

Se a= \frac{1}{16} allora b= -4a = -\frac{1}{4} e c=0

L'equazione in questo caso è:

y= \frac{1}{16}x^2- \frac{1}{4}x

Se hai dubbi... emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, kikketta
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Os