Triangolo rettangolo e circonferenza inscritta

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Triangolo rettangolo e circonferenza inscritta #64366

avt
Sim98
Punto
Ho un problema in cui devo calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo con una circonferenza inscritta, e conosco solo la misura del raggio e dell'altezza.

Determina i cateti di un triangolo rettangolo, sapendo che il raggio della circonferenza inscritta è a e l’altezza relativa all'ipotenusa è \frac{12}{5} a.


Una volta posta l'altezza relativa all'ipotenusa uguale a BH, ho pensato di porre il primo cateto uguale ad x e il secondo uguale ad y così facendo ottengo che

CH=\sqrt{y^2-\frac{144a^2}{25}}

AH=\sqrt{x^2-\frac{144a^2}{25}}

dopo di che avevo intenzione di utilizzare il secondo teorema di Euclide però mi blocco!

PS. Ma in un triangolo rettangolo circoscritto ad una circonferenza, l'altezza passa per il centro?
 
 

Re: Triangolo rettangolo e circonferenza inscritta #64371

avt
Omega
Amministratore
Ciao Sim98 emt

Non è necessario applicare i due teoremi di Euclide, o meglio non direttamente...ti condurrebbero a sistemi in cui l'errore di distrazione o di calcolo è in agguato. E' meglio adottare un'altra strategia.

Il calcolo diventa molto agevole se si fa riferimento al seguente teorema, che puoi dare per buono oppure dimostrarlo in 2 minuti netti.

In un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti supera la misura dell'ipotenusa di un segmento pari al diametro della circonferenza inscritta.

Nelle notazioni che hai scelto (triangolo rettangolo in B):

AB+BC=AC+2a

Dimostrazione del teorema: in riferimento alla figura

circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo


si dimostra immediatamente in forza del secondo criterio di congruenza generalizzato dei triangoli che sono congruenti i triangoli OMB,\ OBN, e AOM,\ AOP, e POC,\ NOC.

Per prima cosa osserva che OMBN è un quadrato con lati di misura a, infatti:

- l'angolo in B è retto;
- gli angoli in M,N sono retti in quanto formati dai raggi che congiungono il centro della circonferenza con i punti di tangenza;

In particolare in un quadrilatero la somma degli angoli interni è 360°, quindi per differenza si ricava che M\hat{O}N=90°.

A questo punto abbiamo provato che OMBN è un rettangolo. Dato che i lati consecutivi MO,MN sono uguali, concludiamo che è un quadrato.

Ora siamo pronti per dimostrare le congruenze per le tre coppie di triangoli. Ci basta tracciare i segmenti AO,\ BO,\ CO e ricordare che l'incentro di un triangolo è il punto di incontro delle bisettrici dei tre angoli, nonché il centro della circonferenza circoscritta.

Infine, nota che le tre coppie di triangoli hanno:

- una coppia di lati uguali (i raggi della circonferenza);
- due angoli uguali (quelli formati dalle bisettrici);
- altri due angoli uguali (quelli di 90°).

Dalle tre congruenze segue agevolmente la tesi.

Fine della dimostrazione



Importante: il segmento OP in figura NON appartiene all'altezza, ossia l'altezza non passa per l'incentro in un triangolo rettangolo. Questa proprietà caratterizza i triangoli isosceli!


Siamo pronti per esaudire la richiesta dell'esercizio. Consideriamo il sistema di relazioni date (1) dal teorema di Pitagora e (2) dal teorema precedente.

\begin{cases}AB^2+BC^2=AC^2\\ AB+BC=AC+2a\end{cases}

Eleviamo al quadrato i due membri della seconda relazione

\begin{cases}AB^2+BC^2=AC^2\\ AB^2+BC^2+2AB\cdot BC=AC^2+4a^2+4a\cdot AC\end{cases}

Il teorema di Pitagora ci permette di semplificare la seconda relazione

2AB\cdot BC=4a^2+4a\cdot AC

e dato che il primo membro ci ricorda la formula per l'area del triangolo rettangolo, la riscriviamo dividendo entrambi i membri per 4

\frac{AB\cdot BC}{2}=a^2+a\cdot AC

Cavolo, abbiamo trovato l'area del triangolo emt

S=a^2+a\cdot AC

ma l'area si può calcolare anche con la formula che vale per qualsiasi triangolo:

S=\frac{AC\cdot BH}{2}

quindi ricaviamo per confronto

\frac{AC\cdot BH}{2}=a^2+a\cdot AC

Ok. Sappiamo che BH=\frac{12}{5}a

\frac{\frac{12}{5}a\cdot AC}{2}=a^2+a\cdot AC

Semplifichiamo i termini a

\frac{6}{5}\cdot AC=a+AC

da cui \frac{1}{5}AC=a\ \to\ AC=5a. Abbiamo ricavato la misura dell'ipotenusa!


Calcoliamo la misura dell'area:

S=\frac{BH\cdot AC}{2}=\frac{12}{5}a\cdot \frac{1}{2}\cdot 5a=6a^2

e usiamo l'altra formula per l'area

\frac{AB\cdot BC}{2}=6a^2

Ora accostiamo questa relazione tra i cateti all'altra relazione, quella del teorema iniziale

\begin{cases}AB\cdot BC=12a^2\\ AB+BC=AC+2a\end{cases}

Nella prima ricaviamo AB in termini di BC

\begin{cases}AB=\frac{12a^2}{BC}\\ AB+BC=AC+2a\end{cases}

e sostituiamo nella seconda relazione AB e AC=5a

\frac{12a^2}{BC}+BC=5a+2a

con un paio di semplificazioni arriviamo ad un'equazione di secondo grado

BC^2-7a\cdot BC+12a^2=0

che, risolta in favore di BC, conduce a due possibili soluzioni

BC_{1,2}=\frac{7a\pm\sqrt{49a^2-48a^2}}{2}=\begin{cases}4a\\ 3a\end{cases}

entrambe le soluzioni sono positive, quindi dobbiamo accettarle tutte e due (la misura di un segmento ha come unica limitazione la positività).

CASO 1) Se prendiamo BC=4a e lo sostituiamo nella prima relazione del sistema, ricaviamo

AB=\frac{12a^2}{BC}=3a

CASO 2) In modo del tutto speculare, con la seconda BC=3a

AB=\frac{12a^2}{BC}=4a

Abbiamo trovato due possibili soluzioni per la misura di BC che descrivono lo stesso triangolo rettangolo, a meno della scelta dei nomi dei vertici. E' solo una questione nominale: abbiamo scoperto che il nostro triangolo ha i cateti di misura 3a,\ 4a e l'ipotenusa di misura 5a.


Esercizio lasciato al lettore: chiamando AB=3a,\ BC=4a usare uno dei due teoremi di Euclide per ricavare le misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, e usare l'altro teorema di Euclide per verificare il risultato.

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo
Ringraziano: Pi Greco, Galois, CarFaby, Sim98

Re: Triangolo rettangolo e circonferenza inscritta #64379

avt
Sim98
Punto
Non potevo ricevere una spiegazione più esaustiva di questa, veramente grazie! emt emt
Ringraziano: Omega
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Os