Triangolo rettangolo e circonferenza inscritta

Ho un problema in cui devo calcolare le misure dei cateti di un triangolo rettangolo con una circonferenza inscritta, e conosco solo la misura del raggio e dell'altezza.

Determina i cateti di un triangolo rettangolo, sapendo che il raggio della circonferenza inscritta è a e l’altezza relativa all'ipotenusa è .


Una volta posta l'altezza relativa all'ipotenusa uguale a , ho pensato di porre il primo cateto uguale ad e il secondo uguale ad così facendo ottengo che





dopo di che avevo intenzione di utilizzare il secondo teorema di Euclide però mi blocco!

PS. Ma in un triangolo rettangolo circoscritto ad una circonferenza, l'altezza passa per il centro?

Ciao Sim98

Non è necessario applicare i due teoremi di Euclide, o meglio non direttamente...ti condurrebbero a sistemi in cui l'errore di distrazione o di calcolo è in agguato. E' meglio adottare un'altra strategia.

Il calcolo diventa molto agevole se si fa riferimento al seguente teorema, che puoi dare per buono oppure dimostrarlo in 2 minuti netti.

In un triangolo rettangolo la somma delle misure dei cateti supera la misura dell'ipotenusa di un segmento pari al diametro della circonferenza inscritta.

Nelle notazioni che hai scelto (triangolo rettangolo in B):



Dimostrazione del teorema: in riferimento alla figura



si dimostra immediatamente in forza del secondo criterio di congruenza generalizzato dei triangoli che sono congruenti i triangoli , e , e .

Per prima cosa osserva che è un quadrato con lati di misura , infatti:

- l'angolo in B è retto;
- gli angoli in sono retti in quanto formati dai raggi che congiungono il centro della circonferenza con i punti di tangenza;

In particolare in un quadrilatero la somma degli angoli interni è 360°, quindi per differenza si ricava che .

A questo punto abbiamo provato che è un rettangolo. Dato che i lati consecutivi sono uguali, concludiamo che è un quadrato.

Ora siamo pronti per dimostrare le congruenze per le tre coppie di triangoli. Ci basta tracciare i segmenti e ricordare che l'incentro di un triangolo è il punto di incontro delle bisettrici dei tre angoli, nonché il centro della circonferenza circoscritta.

Infine, nota che le tre coppie di triangoli hanno:

- una coppia di lati uguali (i raggi della circonferenza);
- due angoli uguali (quelli formati dalle bisettrici);
- altri due angoli uguali (quelli di 90°).

Dalle tre congruenze segue agevolmente la tesi.




Importante: il segmento in figura NON appartiene all'altezza, ossia l'altezza non passa per l'incentro in un triangolo rettangolo. Questa proprietà caratterizza i triangoli isosceli!


Siamo pronti per esaudire la richiesta dell'esercizio. Consideriamo il sistema di relazioni date (1) dal teorema di Pitagora e (2) dal teorema precedente.



Eleviamo al quadrato i due membri della seconda relazione



Il teorema di Pitagora ci permette di semplificare la seconda relazione



e dato che il primo membro ci ricorda la formula per l'area del triangolo rettangolo, la riscriviamo dividendo entrambi i membri per 4



Cavolo, abbiamo trovato l'area del triangolo



ma l'area si può calcolare anche con la formula che vale per qualsiasi triangolo:



quindi ricaviamo per confronto



Ok. Sappiamo che



Semplifichiamo i termini



da cui . Abbiamo ricavato la misura dell'ipotenusa!


Calcoliamo la misura dell'area:



e usiamo l'altra formula per l'area



Ora accostiamo questa relazione tra i cateti all'altra relazione, quella del teorema iniziale



Nella prima ricaviamo in termini di



e sostituiamo nella seconda relazione e



con un paio di semplificazioni arriviamo ad un'equazione di secondo grado



che, risolta in favore di , conduce a due possibili soluzioni



entrambe le soluzioni sono positive, quindi dobbiamo accettarle tutte e due (la misura di un segmento ha come unica limitazione la positività).

CASO 1) Se prendiamo e lo sostituiamo nella prima relazione del sistema, ricaviamo



CASO 2) In modo del tutto speculare, con la seconda



Abbiamo trovato due possibili soluzioni per la misura di che descrivono lo stesso triangolo rettangolo, a meno della scelta dei nomi dei vertici. E' solo una questione nominale: abbiamo scoperto che il nostro triangolo ha i cateti di misura e l'ipotenusa di misura .


Esercizio lasciato al lettore: chiamando usare uno dei due teoremi di Euclide per ricavare le misure delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, e usare l'altro teorema di Euclide per verificare il risultato.

Non potevo ricevere una spiegazione più esaustiva di questa, veramente grazie!